Як побудувати параболу
Парабола являє собою геометричне місце точок, рівновіддалених від даної прямої (директриси) і даної точки (фокуса). Це двовимірна, дзеркально-симетрична крива. Для побудови параболи необхідно знайти її вершину і кілька точок по обидва боки від вершини.
Кроки
Частина 1 з 2: Побудова параболи
1
Термінологія. Знання термінології допоможе вам при побудові параболи.- Фокус параболи - ця точка, від якої рівновіддалені все точки, що лежать на параболі.
- Директриса параболи - це пряма, від якої рівновіддалені все точки, що лежать на параболі.
- Вісь симетрії параболи - це вертикальна лінія, що проходить через фокус і вершину параболи перпендикулярно її директрисі.
- Вершина параболи - точка перетину параболи і осі симетрії. Якщо парабола спрямована вгору, то вершина є найнижчою точкою параболи- якщо парабола спрямована вниз, то вершина є самою верхньою точкою параболи.
2
Рівняння параболи. Рівняння параболи має вигляд: y = ax + bx + c. Рівняння параболи також можна записати у вигляді y = a (x - h) 2 + k.- Якщо коефіцієнт «а» позитивний, то парабола спрямована вгору, а якщо коефіцієнт «а» негативний, то парабола спрямована вниз. Для запам`ятовування цього правила: при позитивному («позитивному») коефіцієнті парабола «посміхається» (спрямована вгору) і навпаки при негативному («негативному») коефіцієнті.
- Наприклад: y = 2x -1. Парабола цього рівняння спрямована вгору, так як а = 2 (позитивний коефіцієнт).
- Якщо в рівнянні в квадрат зводиться «у», а не «х», то парабола «лежить на боці» і спрямована вправо або вліво. Наприклад, парабола x = y + 3 направлена вправо.
3
Знайдіть вісь симетрії. Вісь симетрії параболи - це вертикальна лінія, що проходить через вершину параболи. Вісь симетрії задається функцією х = n, де n - координата «х» вершини параболи. Для обчислення осі симетрії скористайтеся формулою x = -b / 2a- У нашому прикладі а = 2, b = 0, с = 1. Підставте ці значення в формулу: х = -0 / (2 х 2) = 0.
- Вісь симетрії х = 0.
4
Знайдіть вершину. Обчисливши вісь симетрії, ви знайшли координату «х» вершини параболи. Підставте знайдене значення у вихідне рівняння, щоб знайти «у». Ці дві координати і є координати вершини параболи. У нашому прикладі підставте х = 0 в у = 2x -1 і отримаєте у = -1. Вершина параболи має координати (0, -1). Більш того, це точка перетину параболи з віссю Y (так як х = 0).- Іноді координати вершини позначаються як (h, k). У нашому прикладі h = 0, k = -1. Якщо квадратне рівняння дано у вигляді y = a (x - h) 2 + k, то ви з легкістю знаходите координати вершини безпосередньо з рівняння (без обчислень).
5
Намалюйте таблицю з двома стовпцями. У першому стовпці будуть розташовані значення «х», а в другому - значення «у». Це будуть координати точок, що лежать на параболі.- «Середнім» значенням «х» виберіть координату «х» вершини параболи.
- Вище і нижче «середнього» значення «х» напишіть по два значення «х» (для симетрії).
- У вашому прикладі запишіть х = 0 в середині таблиці.
6
Обчисліть значення «у». Для цього підставте значення «х» з таблиці в дане вам рівняння, а потім запишіть отримані значення «у» в таблицю.- x = -2, y = 2 x (-2) - 1 = 8 - 1 = 7
- x = -1, y = 2 x (-1) - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 0, y = 2 x (0) - 1 = 0 - 1 = -1
- x = 1, y = 2 x (1) - 1 = 2 - 1 = 1
- x = 2, y = 2 x (2) - 1 = 8 - 1 = 7
7
Тепер, коли ви знайшли координати п`яти точок, ви можете побудувати графік. Ви знайшли п`ять точок з координатами (-2,7), (-1,1), (0, -1), (1,1), (2,7). Зверніть увагу, що при симетричних (щодо осі симетрії) значеннях «х» значення «у» збігаються, тобто, наприклад, при х = -2 і х = 2 у = 7.8
Нанесіть знайдені точки на координатній площині. Кожен рядок таблиці - це координати (х, у) однієї точки.- Вісь Х йде вліво і вправо вісь Y йде вгору і вниз.
- Позитивні значення по осі Y відкладаються вгору від точки (0,0), а негативні - вниз від точки (0,0).
- Позитивні значення по осі Х відкладаються вправо від точки (0,0), а негативні - вліво від точки (0,0).
9
З`єднайте точки U-подібної кривої, і ви отримаєте параболу. З`єднуйте точки плавною кривою, а не ламаною лінією, щоб отримати правильну параболу.
Частина 2 з 2: Зрушення параболи
Якщо ви хочете зрушити параболу на координатної площині без обчислення її вершини і додаткових точок, то вам потрібно навчитися «читати» рівняння параболи. Почніть з найпростішого рівняння параболи: у = x. Її вершина має координати (0,0), а сама парабола спрямована вгору. Точки, що лежать на цій параболі, мають координати (-1,1), (1,1), (2,4), (2,4) (і так далі). Тепер ми покажемо вам, як зрушити цю параболу.
1
Зрушення вгору. Перепишіть рівняння так: y = x +1, тобто парабола зрушиться вгору на 1 одиницю (вершина нової параболи має координати (0, 1). Нова парабола буде мати таку ж форму, як і вихідна, але координата «у» кожної точки збільшиться на 1 одиницю. Таким чином, замість крапок (-1, 1) і (1, 1) ви отримаєте точки (-1, 2) і (1, 2) (і так далі).2
Зрушення вниз. Перепишіть рівняння так: y = x -1, тобто парабола зрушиться вниз на 1 одиницю (вершина нової параболи має координати (0, -1). Нова парабола буде мати таку ж форму, як і вихідна, але координата «у» кожної точки зменшиться на 1 одиницю. Таким чином, замість крапок (-1, 1) і (1, 1) ви отримаєте точки (-1, 0) і (1, 0) (і так далі).3
Зрушення вліво. Перепишіть рівняння так: y = (x + 1), тобто парабола зрушиться вліво на 1 одиницю (вершина нової параболи має координати (-1,0). Нова парабола буде мати таку ж форму, як і вихідна, але координата «х» кожної точки зменшиться на 1 одиницю. Таким чином, замість крапок (-1, 1) і (1, 1) ви отримаєте точки (-2, 1) і (0, 1) (і так далі).4
Зрушення вправо. Перепишіть рівняння так: y = (x-1), тобто парабола зрушиться вправо на 1 одиницю (вершина нової параболи має координати (1,0). Нова парабола буде мати таку ж форму, як і вихідна, але координата «х» кожної точки збільшиться на 1 одиницю. Таким чином, замість крапок (-1, 1) і (1, 1) ви отримаєте точки (0, 1) і (2, 1) (і так далі).
