Як розкласти на множники многочлен другого ступеня (квадратне рівняння)
Редагувати користувачем Bridget Connolly, Arina.Iv, Maluniu і ще одним іншим
Многочлен містить змінну (х), зведену в ступінь, і кілька членів та / або вільних членів. Розкладання многочлена на множники - розбиття його на короткі й прості многочлени, які перемножуються один з одним. Уміння розкладати многочлен на множники вимагає достатніх математичних знань і навичок.
Кроки
Початкові кроки
1
Запишіть рівняння. Стандартна форма квадратного рівняння:ax + bx + c = 0
Розставте члени, починаючи з найвищого порядку. Розглянемо приклад:6 + 6x + 13x = 0
Наведіть дане рівняння до стандартної форми квадратного рівняння (просто помінявши місцями члени):6x + 13x + 6 = 0 
2
Розкладіть на множники, використовуючи один з методів, наведених нижче. Розкладання многочлена на множники - це розбиття його на короткі й прості многочлени, які перемножуються один з одним.6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
У цьому прикладі двочлена (2x +3) і (3x + 2) є множниками вихідного многочлена 6x + 13x + 6.
3
Перевірте роботу шляхом перемноження членів і додавання однакових (подібних) членів.
(2x + 3) (3x + 2)
6x + 4x + 9x + 6
6x + 13x + 6
Метод 1 з 6: Рішення шляхом проб і помилок
Якщо вам дано досить простий многочлен, ви можете самостійно розкласти його на множники. Наприклад, досвідчені математики можуть відразу визначити, що многочлен 4x + 4x + 1 має множники (2x + 1) і (2x + 1). (Зауважте, цей метод не буде таким простим при розкладанні більш складного многочлена.) Розглянемо приклад:
1
Запишіть пари множників коефіцієнтів a і c. Використовуючи вираз виду ax + bx + c = 0, визначте коефіцієнти a і c. У нашому прикладіa = 3 і множники: 1 * 3 c = -8 і множники: -2 * 4, 4 * 2, -8 * 1, -1 * 8. 
2
Напишіть дві пари дужок з пробілами, замість яких поставите знайдені вільні члени:(X) (x) 
3
Перед x поставте пару множників для коефіцієнта a. У нашому прикладі така пара тільки одна:(3x) (1x) 
4
Після x поставте пару множників для з. Припустимо, ми візьмемо 8 і 1. Отримаємо:(3x 8) (X 1) 
5
Вирішіть, який знак поставити між x і числами (вільними членами). Залежно від знаків у вихідному рівнянні можна визначити знаки перед вільними членами. Позначимо вільні члени в наших двучленной-множниках через h і k:Якщо ax + bx + c, то (x + h) (x + k) Якщо ax - bx - c або ax + bx - c, то (x - h) (x + k) Якщо ax - bx + c, то (x - h) (x - k)
У нашому прикладі 3x + 2x - 8, тому (x - h) (x + k) і(3x + 8) (x - 1) 
6
Перевірте результати, перемноживши вирази в дужках. Якщо вже другий член (зі змінною х) неправильний (неважливо, негативний або позитивний), ви вибрали не ту пару множників c.(3x + 8) (x - 1) 3x - 3x + 8x - 8 3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ? 3x + 2x - 8Такім чином, при перемножуванні множників отримуємо вираз, який не дорівнює ісходному- це означає, що ми вибрали не ту пару множників.
7
Поміняйте пару множників c. У нашому прикладі, візьмемо 2 і 4 замість 1 і 8.(3x + 2) (x - 4)
Тепер c = -8. Проте (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10х, тобто тепер b = -10х, А у вихідному рівнянні b = 2x (отримали невірне значення b).
8
Поміняйте порядок множників. Поміняємо місцями 2 і 4:(3x + 4) (x - 2)
c такий, яким повинен бути (4 * -2 = -8). -6x + 4x дають нам правильну величину (2х), але неправильний знак перед нею (-2х замість + 2х).
9
Поміняйте знаки. Порядок членів у дужках залишаємо колишнім, але міняємо знаки:(3x - 4) (x + 2)
c такий, яким повинен бути (-8), аb= 6x - 4x = 2x 2x = 2x що й потрібно. Таким чином, ми знайшли правильні множники вихідного рівняння.
Метод 2 з 6: Рішення шляхом декомпозиції
Використовуючи цей метод, можна визначити всі множники коефіцієнтів a і c і використовувати їх при знаходженні множників даного рівняння. Якщо числа більші чи вам набридло вгадувати, скористайтеся цим способом. Розглянемо приклад:
1
Помножте коефіцієнт a (6 у нашому прикладі) на коефіцієнт c (Теж 6 у нашому прикладі).6 * 6 = 36 
2
Знайдіть коефіцієнт b розкладанням на множники і подальшою перевіркою. Ми шукаємо два числа, які при перемножуванні дадуть результат, рівний результату множення a * c (У нашому прикладі 36), а при додаванні дадуть результат, рівний коефіцієнту b (У нашому прикладі 13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13 
3
Підставте два знайдених числа у вихідне рівняння в якості суми (яка дорівнює b). Позначимо знайдені числа через k і h (Порядок не важливий):ax + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6 
4
Розкладіть многочлен на множники угрупованням членів. Згрупуйте члени вихідного рівняння так, щоб винести найбільші спільні множники з перших двох і останніх двох членів. При цьому вирази в обох дужках повинні бути однаковими. Загальні множники організуйте в вираз і помножте його на однаковий вираз в дужках.6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2)
Метод 3 з 6: Потрійний метод
Дуже схожий на метод декомпозиції. Цей метод розглядає можливі множники результату множення a на c і використовує їх для знаходження значення b. Розглянемо приклад: 8x + 10x + 2
1
Помножте a (8 в прикладі) на c(2 в прикладі).8 * 2 = 16 
2
Знайдіть два числа, які при перемножуванні дадуть 16, а результат складання яких рівний коефіцієнту b (10 в прикладі).2 * 8 = 16 8 + 2 = 10 
3
Знайдені два числа (позначимо їх через h і k) Підставте в наступне рівняння (формулу «потрійного методу»):((Ax + h) (ax + k)) / a ((8x + 8) (8x + 2)) / 8 
4
З`ясуйте, який вираз в обох дужках повністю ділиться на a. У нашому прикладі таким виразом є (8x + 8). Розділіть це вираз на a, а вираз другий дужки залиште як є.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Розділіть це вираз на 8 (a) І отримаєте (x + 1)
5
Винесіть найбільший спільний дільник (НСД) з якої-небудь або з обох дужок (якщо він є). У нашому прикладі НОД вирази з другого дужок дорівнює 2 (так як 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Таким чином, отримаємо2 (x + 1) (4x + 1)
Метод 4 з 6: Різниця квадратів
Деякі коефіцієнти многочленів можуть бути ідентифіковані як «квадрати» (твір двох однакових чисел). Знаходження «квадратів» дозволяє прискорити розкладання многочлена на множники. Розглянемо приклад:
1
Винесіть за дужки найбільший спільний дільник (якщо він є). У нашому прикладі 27 і 12 діляться на 3.27x - 12 = 3 (9x - 4) 
2
Визначте, що вихідне рівняння - різниця двох квадратів. Рівняння повинно мати два члени, з яких можна витягти квадратний корінь.9x = 3x * 3x і 4 = 2 * 2 (зауважте, що ми відкинули знак мінус) 3
Підставте значення a і c в вираз виду:
(V (a) + v (c)) (v (a) - v (c))
У нашому прикладі a = 9 і c = 4, va = 3 і vc = 2. Таким чином,27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2) 
Метод 5 з 6: Формула вирішення квадратного рівняння
Якщо інші методи не працюють і многочлен не розкладається на фактори, скористайтеся формулою вирішення квадратного рівняння. Розглянемо приклад:
1
Підставте відповідні значення у формулу:x = -b ± v (b - 4ac)
---------------------
2a
Отримаємо вираз:x = -4 ± v (4 - 4 • 1 • 1) / 2 
2
Знаходимо x. Ви повинні отримати два значення x. Як показано вище, ми знаходимо два рішення:
x = -2 + v (3) або x = -2 - v (3)
3
Підставте знайдені значення x замість h і k в вираз виду:(X - h) (x - k) (X - (-2 + v (3)) (x - (-2 - v (3)) = (x + 2 - v (3)) (x + 2 + v (3))
Метод 6 з 6: Калькулятор
Якщо ви можете користуватися графічним калькулятором, то це значно спростить процес розкладання многочленів на множники. Нижче наведено інструкції для графічного калькулятора TI. Розглянемо приклад:
1
Введіть ваше рівняння в [Y =].
2
Натисніть [GRAPH], щоб побудувати графік рівняння. Ви побачите плавну криву (у нашому випадку параболу, так як це квадратне рівняння).
3
Знайдіть точки перетину параболи з віссю Х. Таким чином ви знайдете значення x.(-1, 0), (2, 0) x = -1, x = 2 - Якщо не можете визначити координати візуально, натисніть [2nd], а потім [TRACE]. Натисніть [2] або виберіть "нуль". Підведіть курсор до лівого перетинанню і натисніть [ENTER]. Підведіть курсор до правого перетинанню і натисніть [ENTER]. Калькулятор сам визначить значення x.
4
Підставте значення x замість h і k в вираз виду:(X - h) (x - k) = 0 (X - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Поради
- Якщо у Вас є графічний калькулятор TI-84, то для нього існує програма SOLVER, яка вирішує квадратні рівняння (і взагалі рівняння будь-якого ступеня).
- Якщо члена в многочлене немає, то коефіцієнт дорівнює 0. Якщо у вас такий випадок, корисно переписати рівняння у вигляді:
x + 6 = x + 0x + 6 - Якщо Ви розклали многочлен за допомогою формули для вирішення квадратного рівняння і отримали відповідь з корінням, перетворіть значення x в дроби для його перевірки.
- Якщо при невідомому (змінної) немає коефіцієнта, то він дорівнює 1.
x = 1x - З часом, ви навчитеся проводити метод проб і помилок в голові. А до тих пір записуйте його.
Попередження
- Якщо ви вивчаєте розкладання многочленів на заняттях, застосовуйте той метод, який радить викладач, а не той, який вам подобається. Викладач на іспиті може зажадати використовувати будь-який певний спосіб і може заборонити користуватися графічним калькулятором.
Що вам знадобиться
- Олівець
- Папір
- Квадратне рівняння (многочлен другого ступеня)
- Графічний калькулятор (за бажанням)
Пов`язані wikiHows
- Як зробити графік квадратного рівняння
- Як розкласти на множники тричлен
- Як розкласти число на множники
- Як вирішувати квадратні рівняння
