Як вирішувати диференціальні рівняння

Рішення диференціальних рівнянь включає застосування похідних. Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні її аргументу, наприклад, швидкість зміни швидкості тіла з часом. Такі зміни часто зустрічаються в повсякденному житті. Наприклад, швидкість накопичення виплат по складним відсоткам пропорційна початковій сумі і задається як dV (t) / dt = rV (t) і V (0) = P, де Р - початкова сума (на рахунку), V (t) - функція, описує залежність поточної суми на рахунку (на якому накопичуються виплати) від часу, r - процентна ставка (dt - гранично малий часовий інтервал, dV (t) - гранично мала сума, на яку V (t) змінюється за цей часовий інтервал, а їх ставлення характеризує швидкість накопичення). При вирішенні цього диференціального рівняння отримуємо: V (t) = Pe ^ (rt). Ця стаття розповість вам, як вирішити різні типи диференціальних рівнянь.

Метод 1 з 4: Основи

1
Визначення похідної. Похідна є межа відносини збільшення функції (як правило «у») до приросту аргументу (як правило «х») при прагненні збільшення аргументу до нуля. Існують поняття «перша похідна» і «друга похідна»:
- Перша похідна - похідна функції.
- Друга похідна - похідна від похідної функції.
2
Figure 1. Example of a differential equation of second-order and third-degree.
Порядок і ступінь диференціального рівняння. Порядок диференціального рівняння визначається найвищим порядком похідної, що входить в даний уравненіе- ступінь визначається найбільшим ступенем, в яку зведено похідна найвищого порядку. Наприклад, диференціальне рівняння, показане на малюнку, є диференціальним рівнянням другого порядку третього ступеня.
3
Загальні і приватні рішення. Спільним рішенням диференціального рівняння n-го порядку називається деяка функція, яка залежить від аргументу х і n-го числа незалежних довільних постійних. Наприклад, в задачі про складні відсотки (приведена вище) диференціальне рівняння dy / dt = ky є рівнянням першого порядку, а його загальне рішення y = ce ^ (kt)) має рівно одну довільну постійну. Приватне рішення виходить шляхом додання постійним певних числових значень.

Метод 2 з 4: Рішення диференціальних рівнянь першого порядку

Диференціальне рівняння першого порядку і першого ступеня може бути виражене як Mdx + Ndy = 0, де М і N є функціями х і у. Для вирішення цього диференціального рівняння виконаєте наступні дії:

1
Переконайтеся, що змінні розділяються. Змінні розділяються, якщо диференціальне рівняння може бути виражено як f (x) dx + g (y) dy = 0, де f (x) - функція тільки х, а f (y) - функція тільки y. Це найпростіші диференціальні рівняння. Вони можуть бути проінтегрувати, щоб дати? F (x) dx +? G (y) dy = c, де с - довільна постійна.
- Позбавтеся від дробів.
- Складіть всі члени з однаковим диференціалом.
- Проінтегріруйте отримане рівняння.
- Спростіть вираз, наприклад, перетворивши логарифми в показники.
- На малюнку нижче наведений приклад вирішення диференціального рівняння першого порядку з розділеними змінними.
2
Якщо змінні не можуть бути розділені, перевірте, чи є диференціальне рівняння однорідним. Диференціальне рівняння M dx + N dy = 0 є однорідним, якщо підстановка? X і? Y (замість х і у) призводить до вихідної функції, помноженої на числовий параметр? в деякій мірі, яка називається порядком однорідної функції. Якщо це так, виконайте такі дії. Дивіться малюнок, представлені вище.
- Нехай y = vx, тоді dy / dx = x (dv / dx) + v.
- З M dx + N dy = 0 отримаємо dy / dx = -M / N = f (v), так як y є функція v
- Таким чином, f (v) = dy / dx = x (dv / dx) + v. Тепер змінні х і v можуть бути розділені: dx / x = dv / (f (v) -v)).
- Вирішіть нове диференціальне рівняння із перемінними, а потім, використавши підстановку у = vх, знайдіть у.
3
Якщо диференціальне рівняння не може бути вирішено двома попередніми методами, переконайтеся, що його можна виразити як лінійне диференціальне рівняння виду dy / dx + Py = Q, де P і Q є функціями одного х або постійних. Слід зазначити, що тут х і у можуть бути взаємозамінними. Якщо це так, виконайте такі дії. Дивіться малюнок, представлений нижче.
- Нехай у = uv, де u і v є функціями х.
- Продифференцируем і отримаємо dy / dx = u (dv / dx) + v (du / dx).
- Підставами в dy / dx + Py = Q і отримаємо u (dv / dx) + v (du / dx) + Puv = Q або u (dv / dx) + (du / dx + Pu) v = Q.
- Знайдемо u, проінтегрувавши du / dx + Pu = 0, де змінні розділені. Потім використовуйте отримане значення u для знаходження v, вирішуючи u (dv / dx) = Q, де змінні теж розділені.
- Нарешті, використавши підстановку у = uv, знайдіть у.
4
Вирішимо рівняння Бернуллі: dy / dx + p (x) y = q (x) y
- Нехай u = y, тому du / dx = (1-n) y (dy / dx).
- Таким чином, y = u, dy / dx = (du / dx) y / (1-n) і y = u.
- Підставивши це в рівняння Бернуллі і помноживши (1-n) / u, отримаєте
  
  du / dx + (1-n) p (x) u = (1-n) q (x).
- Зверніть увагу, що це лінійне диференціальне рівняння першого порядку з нової змінної u- таке рівняння може бути вирішено за допомогою методу, викладеного вище (крок 3). Після того, як рівняння вирішено, підставте назад y = u для повного вирішення.

Метод 3 з 4: Рішення диференціальних рівнянь другого порядку

1
Figure 5. Solving another special type of higher order differential equation.
Перевірте, що диференціальне рівняння має вигляд, як рівняння (1) на малюнку справа, де f (y) є функцією лише у чи постійною. Якщо це так, просто виконайте дії, дані на цьому малюнку.
2
Рішення лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами. Перевірте, що диференціальне рівняння має вигляд, як рівняння (1), показане на малюнку вище. Якщо це так, диференціальне рівняння вирішується як квадратне рівняння.
3
Щоб вирішити загальне лінійне диференціальне рівняння другого порядку, перевірте, що воно має вигляд, як рівняння (1), показане на малюнку нижче. Якщо це так, диференціальне рівняння можна вирішити за допомогою наступних кроків.
- Розв`яжіть рівняння (1) з попереднього малюнка (де f (x) = 0), використовуючи метод, описаний вище. Нехай спільне рішення буде у = u.
- Знайдіть приватне рішення у = v рівняння (1) на нижньому малюнку. Виконайте наступні дії:
  - Якщо f (x) не є приватним рішенням рівняння (1):
    - Якщо f (x) представлено у вигляді f (x) = a + bx, припустимо, що y = v = A + Bx;
    - Якщо f (x) представлено у вигляді f (x) = ae, припустимо, що y = v = Ae;
    - Якщо f (x) представлено у вигляді f (x) = a₁ cos bx + a₂ sin bx, припустимо, що y = v = A₁ cos bx + A₂ sin bx.
  - Якщо f (x) є приватним рішенням рівняння (1), припустимо, що v може бути представлено у видах, викладених вище і помножених на х.
- Загальне рішення рівняння (1) дається у вигляді y = u + v.

Метод 4 з 4: Рішення диференціальних рівнянь вищого порядку

Диференціальні рівняння вищого порядку важче вирішити, за винятком деяких особливих випадків, а саме:

1
Перевірте, що диференціальне рівняння має вигляд, як рівняння (1) на малюнку, представленому вище. Тут f (х) є функцією тільки х або постійною. Якщо це так, виконайте дії, наведені на малюнку.
2
Рішення лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку з постійними коефіцієнтами. Перевірте, що диференціальне рівняння має вигляд, як рівняння (1) на малюнку, представленому вище. Якщо це так, виконайте дії, наведені на малюнку.
3
Щоб вирішити загальне лінійне диференціальне рівняння n-го порядку, перевірте, що воно має вигляд, як рівняння (1) на малюнку, представленому вище. Якщо це так, то таке рівняння вирішується методом аналогічним тому, який використовується для вирішення лінійного диференціального рівняння другого порядку.

Завдання з повсякденності

Властивість капіталізації відсотків: швидкість накопичення виплат по складним відсоткам пропорційна початковій сумі. Якщо y = f (t), то dy / dt = ky. Вирішимо це рівняння, використовуючи метод разделяющихся змінних, і отримаємо y = ce ^ (kt), де у - поточна сума грошей на рахунку (на якому накопичуються виплати по складним відсоткам), з -довільний постійна, k - процентна ставка, t - час . Таким чином, час - це гроші.
- Зверніть увагу, що це властивість капіталізації відсотків застосовується в багатьох областях повсякденного життя. Наприклад, ви пропускаєте прісну воду через солоний розчин для зменшення концентрації солі. Скільки води потрібно пропустити і як змінюється концентрація солі в залежності від темпу пропуску води?
  
  Нехай s - концентрація солі у воді в будь-який момент часу, х - обсяг пропускається води, v - обсяг солоного розчину. Концентрація солі у воді задається відношенням s / v. Тепер припустимо, що? X - об`єм води, що витекла з розчину, так що кількість витекла солі є (s / v)? X. Отже, зміна концентрації солі? S задається? S = - (s / v)? X або? S /? X = - (s / v). При граничному? X-> 0 отримаємо ds / dx = -s / v, що є диференціальним рівнянням аналогічним рівнянням, що описує властивість капіталізації відсотків (де у є s, t є х, k є -1 / v).
- Закон охолодження Ньютона: швидкість охолодження тіла пропорційна різниці температур між нагрітим тілом і навколишнім середовищем. Якщо х - різниця температур нагрітого тіла і навколишнього середовища, t = час, тоді dx / dt = kx, де k - постійна. Рішенням цього диференціального рівняння є вираз x = ce ^ (kt), де з -довільний постійна. Припустимо, що різниця температур (х) спочатку була рівна 80 градусам і стала дорівнювати 70 градусам через хвилину. Чому вона дорівнюватиме через 2 хвилини?
  
  Нехай t = час у хвилинах, x - різниця температур в градусах, тоді 80 = ce ^ (k * 0) = c і 70 = ce ^ (k * 1) = 80e ^ k. Таким чином, k = ln (7/8). Виходить, що x = 70E ^ (ln (7/8) t) - приватне рішення цієї задачі. Тепер підставимо t = 2 і отримаємо x = 70E ^ (ln (7/8) * 2) = 53.59 градусів через 2 хвилини.
- Various strata of the atmosphere as height increases from sea level
  Зміна атмосферного тиску "`p"` залежить від висоти над рівнем моря "`h"`. Тут диференціальне рівняння має вигляд: dp / dh = kh, де k - постійна.
- Швидкість хімічної реакції, в якій x - кількість речовини, перетворене до часу t, визначається швидкістю зміни х. Нехай а - концентрація на початку реакції, тоді dx / dt = k (ax), де k - постійна, що характеризує швидкість, а (ax) - залежна змінна. d (ax) / dt = -k (ax), тому d (ax) / (ax) = -kdt. Проинтегрируем і отримаємо ln (ax) = -kt + a, так як ax = a при t = 0. Звідси знаходимо k = (1 / t) ln (a / (ax)).
- У електричного кола з опором R і індуктивністю L, споживане напруга V (При силі струму i) Виражається рівнянням: V=iR + L (di / dt) або di / dt = (V - iR) /L, де V - iR - Залежна змінна.
- Узагальнене гармонійне коливання в диференціальному вигляді записується як: ds/dt + ks = 0, де s - зсув (відхилення) коливається точки від положення рівноваги в момент часу t, а k - Циклічна частота коливань. Рішення цього рівняння: s = C₁cos kt + c₂sin kt.
  
  Воно спрощується підстановкою c₁ = B sin A, c₂ = B cos A: s = b sin A cos kt + b cos A sin kt. Згідно з правилами тригонометрії sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, тому s = B sin (kt + A).
- Коливання тіла масою m на пружині. За законом Гука, при деформації пружини на s одиниць від своєї первісної довжини (або положення рівноваги), виникає сила пружності F, пропорційна цієї деформації. Тобто F = -ks. За другим законом Ньютона (сила дорівнює масі, помноженої на прискорення), отримуємо m ds/dt = -ks, або m ds/dt + ks = 0, що є записом гармонійного коливання в диференціальному вигляді.
- Rear shock absorber and spring of a BMW R75 / 5 motorcycle
  Затухаючі коливання: розглянемо коливання тіла на пружині з урахуванням сили опору. Сила опору - будь-яка сила, яка призводить до зменшення амплітуди коливань. Наприклад, в якості сили опору виступає автомобільний амортизатор (пристрій, що служить для гасіння коливань). У більшості випадків сила опору F_d приблизно пропорційна швидкості тіла, тобто F_d = -c ds / dt, де c - Постійна. Підсумовуючи силу опору і силу пружності, отримаємо: -ks - c ds / dt = m ds/dt. Або m ds/dt + c ds / dt + ks = 0. Це диференціальне рівняння другого порядку, яке може бути вирішено через рішення допоміжного рівняння: mr + cr + k = 0 після підстановки s = e ^ (rt).
  Застосовуємо формулу для вирішення квадратного рівняння і отримуємо: r₁ = (-c+ sqrt (c- 4mk)) / 2m- r₂= (-c - sqrt (c - 4mk)) / 2m.
  - Сверхкритическое затухання. Якщо c - 4mk> 0, r₁ і r₂ дійсні і різні. Рішення: s = c₁e ^ (r₁t) + c₂e ^ (r₂t). Так як c, m, і k - позитивні, sqrt (c - 4mk) Повинен бути менше, ніж c- це означає, що обидва кореня r₁ і r₂ - Негативні і функція експоненціально убуває. У цьому випадку коливання не відбуваються. Сильна сила опору може бути забезпечена, наприклад, середовищами з високою в`язкістю.
  - Критичне затухання. Якщо c - 4mk = 0, r₁ = r₂ = -c / 2m. Рішення: s = (C₁ + c₂t) e ^ ((- c / 2m) t). Функція як і раніше експоненціально убуває, і коливань не спостерігається. Однак найменше зменшення сили опір призведе до коливань тіла.
  - Докритичний затухання: Якщо c - 4mk < 0, корни являются комплексными и задаются как -c / 2m +/ -?i, де? = Sqrt (4mk - c)) / 2m. Рішення: s = E ^ (- (c / 2m) t) (c₁ cos?t + c₂ sin?t). Це коливання загасає при e ^ (- (c / 2m) t. Так як c і m позитивні, e ^ (- (c / 2m) t) прагне до нуля при t, прагне в нескінченність. Таким чином, коливання будуть затухати.

Поради

Підставте ваше рішення у вихідне диференціальне рівняння, щоб перевірити правильність рішення.
Багато диференціальні рівняння не можуть бути вирішені вищезазначеними методами. Однак, наведених вище методів цілком достатньо для вирішення найбільш часто зустрічаються рівнянь.
Пам`ятайте: зворотне диференціювання дія називається інтегруванням, яке передбачає підсумовування результатів, що залежать від постійно мінливих величин, наприклад, обчислення пройденого тілом відстані, коли відомі його миттєві швидкості в певний час.

Попередження

На відміну від диференціювання, в якому можна знайти похідну будь-якого даного виразу, інтегрування багатьох виразів - нелегке завдання. Тому не витрачайте час і подивіться в таблицю інтегралів. Рішення диференціального рівняння вважається закінченим, коли воно було спрощено до вираження, що включає інтеграли (при цьому не важливо, можна інтегрувати цей вираз чи ні).

Що вам знадобиться

Папір
Ручка або олівець
Таблиці інтегралів