Як вирішувати тригонометричні рівняння

Тригонометричне рівняння містить одну або декілька тригонометричних функцій змінної «х» (або будь-який інший змінної). Рішення тригонометричного рівняння - це знаходження такого значення «х», яке задовольняє функції (функцій) і рівняння в цілому.

• Рішення тригонометричних рівнянь виражаються в градусах або радіанах. Приклади:

х =? / 3- х = 5? / 6 х = 3? / 2- х = 45 градусів-х = 37,12 градусів-х = 178,37 градусів.

• Примітка: значення тригонометричних функцій від кутів, виражених в радіанах, і від кутів, виражених у градусах, рівні. Тригонометрична коло з радіусом, рівним одиниці, служить для опису тригонометричних функцій, а також для перевірки правильності вирішення основних тригонометричних рівнянь і нерівностей.
• Приклади тригонометричних рівнянь:
  • sin x + sin 2x = 1 / 2- tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x- 2sin 2x + cos x = 1.

1. Тригонометрична коло з радіусом, рівним одиниці (одинична окружність).
   • Це коло з радіусом, рівним одиниці, і центром в точці O. Одинична окружність описує 4 основні тригонометричні функції змінної «х», де «х» - кут, відлічуваний від позитивного напрямку осі Х проти годинникової стрілки.
   • Якщо «х» - деякий кут на одиничному колі, то:
   • Горизонтальна вісь OAх визначає функцію F (х) = соs х.
   • Вертикальна вісь OВy визначає функцію F (х) = sin х.
   • Вертикальна вісь AT визначає функцію F (х) = tg х.
   • Горизонтальна вісь BU визначає функцію F (х) = сtg х.

• Одинична окружність також застосовується при вирішенні основних тригонометричних рівнянь і нерівностей (на ній розглядаються різні положення «х»).

Кроки

1. 

   1

   Концепція рішення тригонометричних рівнянь.
   • Для вирішення тригонометричного рівняння перетворіть його в одне або кілька основних тригонометричних рівнянь. Рішення тригонометричного рівняння в кінцевому підсумку зводиться до вирішення чотирьох основних тригонометричних рівнянь.

2. 

   2

   Рішення основних тригонометричних рівнянь.
   • Існують 4 види основних тригонометричних рівнянь:
   
   
   
   
   
   • sin x = a- cos x = a
   • tg x = a- ctg x = a
   • Рішення основних тригонометричних рівнянь увазі розгляд різних положень «х» на одиничному колі, а також використання таблиці перетворення (або калькулятора).
   • Приклад 1. sin x = 0,866. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор), ви отримаєте відповідь: х =? / 3. Одинична окружність дає ще одну відповідь: 2? / 3. Запам`ятайте: всі тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються. Наприклад, періодичність sin x і cos x дорівнює 2? N, а періодичність tg x і ctg x дорівнює? N. Тому відповідь записується таким чином:
   • x1 =? / 3 + 2? n- x2 = 2? / 3 + 2? n.
   • Приклад 2. соs х = -1/2. Використовуючи таблицю перетворення (або калькулятор), ви отримаєте відповідь: х = 2? / 3. Одинична окружність дає ще одна відповідь: -2? / 3.
   • x1 = 2? / 3 + 2? - х2 = -2? / 3 + 2 ?.
   • Приклад 3. tg (x -? / 4) = 0.
   • Відповідь: х =? / 4 +? N.
   • Приклад 4. ctg 2x = 1,732.
   • Відповідь: х =? / 12 +? N.

3. 

   3

   Перетворення, які використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь.
   • Для перетворення тригонометричних рівнянь використовуються алгебраїчні перетворення (розкладання на множники, приведення однорідних членів і т.д.) і тригонометричні тотожності.
   • Приклад 5. Використовуючи тригонометричні тотожності, рівняння sin x + sin 2x + sin 3x = 0 перетворюється в рівняння 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Таким чином, потрібно вирішити такі основні тригонометричні рівняння: cos x = 0- sin (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.
     
     

4. 4

   Знаходження кутів по відомим значенням функцій.
   
   
   • Перед вивченням методів вирішення тригонометричних рівнянь вам необхідно навчитися знаходити кути по відомим значенням функцій. Це можна зробити за допомогою таблиці перетворення або калькулятора.
   • Приклад: соs х = 0,732. Калькулятор дасть відповідь х = 42,95 градусів. Одинична окружність дасть додаткові кути, косинус яких також дорівнює 0,732.





5. 5

   Відкладіть вирішення на одиничному колі.
   
   
   • Ви можете відкласти рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі. Рішення тригонометричного рівняння на одиничному колі являють собою вершини правильного багатокутника.
   • Приклад: Рішення x =? / 3 +? N / 2 на одиничному колі являють собою вершини квадрата.
   • Приклад: Рішення x =? / 4 +? N / 3 на одиничному колі являють собою вершини правильного шестикутника.

6. 6

   Методи рішення тригонометричних рівнянь.
   
   
   • Якщо дане тригонометрическое рівняння містить тільки одну тригонометричну функцію, вирішите це рівняння як основне тригонометричне рівняння. Якщо дане рівняння включає дві або більше тригонометричні функції, то існують два методу розв`язання такого рівняння (залежно від можливості його перетворення).
     • Метод 1.
   • Перетворіть дане рівняння в рівняння виду: f (x) * g (x) * h (x) = 0, де f (x), g (x), h (x) - основні тригонометричні рівняння.
     
     
   • Приклад 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0 < x < 2?)
   • Рішення. Використовуючи формулу подвійного кута sin 2x = 2 * sin х * соs х, замініть sin 2x.
   • 2соs х + 2 * sin х * соs х = 2cos х * (sin х + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: соs х = 0 і (sin х + 1) = 0.
   • Приклад 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 < x < 2?)
   • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння в рівняння виду: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: cos 2x = 0 і (2cos x + 1) = 0.
   • Приклад 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 < x < 2?)
   • Рішення: Використовуючи тригонометричні тотожності, перетворіть дане рівняння в рівняння виду: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Тепер вирішите два основних тригонометричних рівняння: cos 2x = 0 і (2sin x + 1) = 0.
     • Метод 2.
   • Перетворіть дане тригонометричне рівняння в рівняння, що містить тільки одну тригонометричну функцію. Потім замініть цю тригонометричну функцію на деяку невідому, наприклад, t (sin x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t- tg (x / 2) = t і т.д.).
   • Приклад 9. 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < x < 2?).
   • Рішення. В даному рівнянні замініть (cos ^ 2 x) на (1 - sin ^ 2 x) (згідно тотожності). Перетворене рівняння має вигляд:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Замініть sin х на t. Тепер рівняння має вигляд: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Це квадратне рівняння, що має два корені: t1 = -1 і t2 = 9/5. Другий корінь t2 не задовольняє області значень функції (-1 < sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1- х = 3?/2.
   • Приклад 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Рішення. Замініть tg x на t. Перепишіть вихідне рівняння в наступному вигляді: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Тепер знайдіть t, а потім знайдіть х для t = tg х.

7. 7

   Особливі тригонометричні рівняння.
   
   
   • Є кілька особливих тригонометричних рівнянь, які вимагають конкретних перетворень. Приклади:
   • a * sin x + b * cos x = c - a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0

8. 

   8

   Періодичність тригонометричних функцій.
   • Як згадувалося раніше, все тригонометричні функції є періодичними, тобто їх значення повторюються через певний період. Приклади:
     • Період функції f (x) = sin x дорівнює 2 ?.
     • Період функції f (x) = tg x дорівнює?.
     • Період функції f (x) = sin 2x дорівнює?.
     • Період функції f (x) = cos (x / 2) дорівнює 4 ?.
   • Якщо період вказаний в задачі, обчисліть значення «х» в межах цього періоду.
   • Примітка: рішення тригонометричних рівнянь - непросте завдання, яке часто призводить до помилок. Тому ретельно перевіряйте відповіді. Для цього можна використовувати графічний калькулятор, щоб побудувати графік даного рівняння R (х) = 0. У таких випадках рішення будуть представлені у вигляді десяткових дробів (тобто? Замінюється на 3,14).