Як знайти вершину
У математиці існує ряд завдань, в яких потрібно знайти вершину. Наприклад, вершину багатогранника, вершину або декілька вершин області системи нерівностей, вершину параболи або квадратного рівняння. Ця стаття розповість вам, як знайти вершину в різних завданнях.
Кроки
Метод 1 з 5: Пошук числа вершин багатогранника
1
Теорема Ейлера. Теорема стверджує, що в будь-якому многограннике число його вершин плюс число його граней мінус число його ребер завжди дорівнює двом.- Формула, що описує теорему Ейлера: F + V - E = 2
- F - число граней.
- V - число вершин.
- E - число ребер.
- Формула, що описує теорему Ейлера: F + V - E = 2
2
Перепишіть формулу, щоб знайти число вершин. Якщо вам дано число граней і число ребер багатогранника, ви можете швидко знайти число його вершин за допомогою формули Ейлера.- V = 2 - F + E
3
Підставте дані вам значення в цю формулу. В результаті ви отримаєте число вершин багатогранника.- Приклад: знайдіть число вершин багатогранника, у якого 6 граней і 12 ребер.
- V = 2 - F + E
- V = 2 - 6 + 12
- V = -4 + 12
- V = 8
- Приклад: знайдіть число вершин багатогранника, у якого 6 граней і 12 ребер.
Метод 2 з 5: Пошук вершини області системи лінійних нерівностей
1
Побудуйте графік вирішення (області) системи лінійних нерівностей. У певних випадках на графіку можна побачити деякі або всі вершини області системи лінійних нерівностей. В іншому випадку вам доведеться знайти вершину алгебраїчно.- При використанні графічного калькулятора ви можете подивитися весь графік і знайти координати вершин.
2
Перетворіть нерівності в рівняння. Для того, щоб вирішити систему нерівностей (тобто знайти «х» і «у»), вам необхідно замість знаків нерівності поставити знак «дорівнює».- Приклад: дана система нерівностей:
- у < х
- у> - х + 4
- Перетворіть нерівності в рівняння:
- у = х
- у = - х + 4
- Приклад: дана система нерівностей:
3
Тепер висловіть будь-яку змінну в одному рівнянні і підставте її в інше рівняння. У нашому прикладі підставте значення «у» з першого рівняння в друге рівняння.- Приклад:
- у = х
- у = - х + 4
- Підставляємо у = х в у = - х + 4:
- х = - х + 4
- Приклад:
4
Знайдіть одну із змінних. Зараз у вас є рівняння тільки з однією змінною «х», яку легко знайти.- Приклад: х = - х + 4
- х + х = 4
- 2x = 4
- 2x / 2 = 4/2
- х = 2
- Приклад: х = - х + 4
5
Знайдіть іншу змінну. Підставте знайдене значення «х» в будь-яке з рівнянь і знайдіть значення «у».- Приклад: у = х
- у = 2
- Приклад: у = х
6
Знайдіть вершину. Вершина має координати, рівні знайденим значенням «х» і «у».- Приклад: вершина області даної системи нерівностей є точка О (2,2).
Метод 3 з 5: Пошук вершини параболи через вісь симетрії
1
Розкладіть рівняння на множники. Є кілька способів розкладання квадратного рівняння на множники. В результаті розкладання ви отримуєте два двочлена, які при перемножуванні приведуть до вихідного рівняння.- Приклад: дано квадратне рівняння
- 3x2 - 6x - 45
- Спочатку винесіть за дужку загальний множник: 3 (x2 - 2x - 15)
- Перемножте коефіцієнти «а» і «с»: 1 * (-15) = -15.
- Знайдіть два числа, результат множення яких дорівнює -15, а їх сума дорівнює коефіцієнту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15- 3 - 5 = -2.
- Підставте знайдені значення в рівняння ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15).
- Розкладіть вихідне рівняння: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
- Приклад: дано квадратне рівняння
2
Знайдіть точку (точки), в якій графік функції (в даному випадку парабола) перетинає вісь абсцис. Графік перетинає вісь Х при f (x) = 0.- Приклад: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
- х +3 = 0
- х - 5 = 0
- х = -3- х = 5
- Таким чином, корені рівняння (або точки перетину з віссю Х): А (-3, 0) і В (5, 0)
- Приклад: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
3
Знайдіть вісь симетрії. Вісь симетрії функції проходить через точку, що лежить посередині між двома країнами. При цьому вершина лежить на осі симетрії.- Приклад: х = 1 це значення лежить посередині між -3 і +5.
4
Підставте значення «х» у вихідне рівняння і знайдіть значення «у». Ці значення «х» і «у» - координати вершини параболи.- Приклад: у = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
5
Запишіть відповідь.- Приклад: вершина даного квадратного рівняння є точка О (1, -48)
Метод 4 з 5: Пошук вершини параболи через додаток до квадрата
1
Перепишіть вихідне рівняння у вигляді: y = a (x - h) ^ 2 + k, при цьому вершина лежить в точці з координатами (h, k). Для цього потрібно доповнити вихідне квадратне рівняння до квадрата.- Приклад: дана квадратична функція у = - х ^ 2 - 8x - 15.
2
Розгляньте перші два члена. Винесіть за дужки коефіцієнт першого члена (при цьому вільний член ігнорується).- Приклад: -1 (х ^ 2 + 8x) - 15.
3
Розкладіть вільний член (-15) на два числа так, щоб одне з них доповнило вираз в дужках до повного квадрата. Одне з чисел має дорівнювати квадрату половини коефіцієнта другого члена (з виразу в дужках).- Приклад: 8/2 = 4- 4 * 4 = 16- тому
- -1 (х ^ 2 + 8x + 16)
- -15 = -16 + 1
- у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1
- Приклад: 8/2 = 4- 4 * 4 = 16- тому
4
Спростите рівняння. Так як вираз в дужках є повний квадрат, можна переписати це рівняння в наступному вигляді (якщо необхідно, проведіть операції додавання або віднімання за дужками):- Приклад: у = -1 (х + 4) ^ 2 + 1
5
Знайдіть координати вершини. Нагадаємо, що координати вершини функції виду y = a (x - h) ^ 2 + k рівні (h, k).- k = 1
- h = -4
- Таким чином, вершина вихідної функції є точка О (-4,1).
Метод 5 з 5: Пошук вершини параболи за простою формулою
1
Знайдіть координату «х» за формулою: x = -b / 2a (для функції виду y = ax ^ 2 + bx + c). Підставте значення «a» і «b» у формулу і знайдіть координату «х».- Приклад: дана квадратична функція у = - х ^ 2 - 8x - 15.
- х = -b / 2a = - (- 8) / (2 * (- 1)) = 8 / (- 2) = -4
- х = -4
2
Підставте знайдене значення «х» у вихідне рівняння. Таким чином ви знайдете «у». Ці значення «х» і «у» - координати вершини параболи.- Приклад: у = - х ^ 2 - 8x - 15 = - (- 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (- 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
- у = 1
- Приклад: у = - х ^ 2 - 8x - 15 = - (- 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (- 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
3
Запишіть відповідь.- Приклад: вершина вихідної функції є точка О (-4,1).
Що вам знадобиться
- Калькулятор
- Олівець
- Папір