Як знайти вершину

У математиці існує ряд завдань, в яких потрібно знайти вершину. Наприклад, вершину багатогранника, вершину або декілька вершин області системи нерівностей, вершину параболи або квадратного рівняння. Ця стаття розповість вам, як знайти вершину в різних завданнях.




Метод 1 з 5: Пошук числа вершин багатогранника

  1. 1

    Теорема Ейлера. Теорема стверджує, що в будь-якому многограннике число його вершин плюс число його граней мінус число його ребер завжди дорівнює двом.
    • Формула, що описує теорему Ейлера: F + V - E = 2
      • F - число граней.
      • V - число вершин.
      • E - число ребер.

  2. 2

    Перепишіть формулу, щоб знайти число вершин. Якщо вам дано число граней і число ребер багатогранника, ви можете швидко знайти число його вершин за допомогою формули Ейлера.
    • V = 2 - F + E

  3. 3

    Підставте дані вам значення в цю формулу. В результаті ви отримаєте число вершин багатогранника.
    • Приклад: знайдіть число вершин багатогранника, у якого 6 граней і 12 ребер.
      • V = 2 - F + E
      • V = 2 - 6 + 12
      • V = -4 + 12
      • V = 8

Метод 2 з 5: Пошук вершини області системи лінійних нерівностей

  1. 1

    Побудуйте графік вирішення (області) системи лінійних нерівностей. У певних випадках на графіку можна побачити деякі або всі вершини області системи лінійних нерівностей. В іншому випадку вам доведеться знайти вершину алгебраїчно.
    • При використанні графічного калькулятора ви можете подивитися весь графік і знайти координати вершин.

  2. 2

    Перетворіть нерівності в рівняння. Для того, щоб вирішити систему нерівностей (тобто знайти «х» і «у»), вам необхідно замість знаків нерівності поставити знак «дорівнює».
    • Приклад: дана система нерівностей:
      • у < х
      • у> - х + 4
    • Перетворіть нерівності в рівняння:
      • у = х
      • у = - х + 4

  3. 3

    Тепер висловіть будь-яку змінну в одному рівнянні і підставте її в інше рівняння. У нашому прикладі підставте значення «у» з першого рівняння в друге рівняння.
    • Приклад:
      • у = х
      • у = - х + 4
    • Підставляємо у = х в у = - х + 4:
      • х = - х + 4

  4. 4

    Знайдіть одну із змінних. Зараз у вас є рівняння тільки з однією змінною «х», яку легко знайти.
    • Приклад: х = - х + 4
      • х + х = 4
      • 2x = 4
      • 2x / 2 = 4/2
      • х = 2

  5. 5

    Знайдіть іншу змінну. Підставте знайдене значення «х» в будь-яке з рівнянь і знайдіть значення «у».
    • Приклад: у = х
      • у = 2

  6. 6

    Знайдіть вершину. Вершина має координати, рівні знайденим значенням «х» і «у».
    • Приклад: вершина області даної системи нерівностей є точка О (2,2).

Метод 3 з 5: Пошук вершини параболи через вісь симетрії

  1. 1

    Розкладіть рівняння на множники. Є кілька способів розкладання квадратного рівняння на множники. В результаті розкладання ви отримуєте два двочлена, які при перемножуванні приведуть до вихідного рівняння.
    • Приклад: дано квадратне рівняння
      • 3x2 - 6x - 45
      • Спочатку винесіть за дужку загальний множник: 3 (x2 - 2x - 15)


      • Перемножте коефіцієнти «а» і «с»: 1 * (-15) = -15.
      • Знайдіть два числа, результат множення яких дорівнює -15, а їх сума дорівнює коефіцієнту «b» (b = -2): 3 * (-5) = -15- 3 - 5 = -2.
      • Підставте знайдені значення в рівняння ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15).
      • Розкладіть вихідне рівняння: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)

  2. 2

    Знайдіть точку (точки), в якій графік функції (в даному випадку парабола) перетинає вісь абсцис. Графік перетинає вісь Х при f (x) = 0.
    • Приклад: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
      • х +3 = 0
      • х - 5 = 0
      • х = -3- х = 5
      • Таким чином, корені рівняння (або точки перетину з віссю Х): А (-3, 0) і В (5, 0)

  3. 3

    Знайдіть вісь симетрії. Вісь симетрії функції проходить через точку, що лежить посередині між двома країнами. При цьому вершина лежить на осі симетрії.
    • Приклад: х = 1 це значення лежить посередині між -3 і +5.

  4. 4

    Підставте значення «х» у вихідне рівняння і знайдіть значення «у». Ці значення «х» і «у» - координати вершини параболи.
    • Приклад: у = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48

  5. 5

    Запишіть відповідь.
    • Приклад: вершина даного квадратного рівняння є точка О (1, -48)

Метод 4 з 5: Пошук вершини параболи через додаток до квадрата

  1. 1

    Перепишіть вихідне рівняння у вигляді: y = a (x - h) ^ 2 + k, при цьому вершина лежить в точці з координатами (h, k). Для цього потрібно доповнити вихідне квадратне рівняння до квадрата.
    • Приклад: дана квадратична функція у = - х ^ 2 - 8x - 15.

  2. 2

    Розгляньте перші два члена. Винесіть за дужки коефіцієнт першого члена (при цьому вільний член ігнорується).
    • Приклад: -1 (х ^ 2 + 8x) - 15.

  3. 3

    Розкладіть вільний член (-15) на два числа так, щоб одне з них доповнило вираз в дужках до повного квадрата. Одне з чисел має дорівнювати квадрату половини коефіцієнта другого члена (з виразу в дужках).
    • Приклад: 8/2 = 4- 4 * 4 = 16- тому
      • -1 (х ^ 2 + 8x + 16)
      • -15 = -16 + 1
      • у = -1 (х ^ 2 + 8x + 16) + 1

  4. 4

    Спростите рівняння. Так як вираз в дужках є повний квадрат, можна переписати це рівняння в наступному вигляді (якщо необхідно, проведіть операції додавання або віднімання за дужками):
    • Приклад: у = -1 (х + 4) ^ 2 + 1

  5. 5

    Знайдіть координати вершини. Нагадаємо, що координати вершини функції виду y = a (x - h) ^ 2 + k рівні (h, k).
    • k = 1
    • h = -4
    • Таким чином, вершина вихідної функції є точка О (-4,1).

Метод 5 з 5: Пошук вершини параболи за простою формулою

  1. 1

    Знайдіть координату «х» за формулою: x = -b / 2a (для функції виду y = ax ^ 2 + bx + c). Підставте значення «a» і «b» у формулу і знайдіть координату «х».
    • Приклад: дана квадратична функція у = - х ^ 2 - 8x - 15.
    • х = -b / 2a = - (- 8) / (2 * (- 1)) = 8 / (- 2) = -4
    • х = -4

  2. 2

    Підставте знайдене значення «х» у вихідне рівняння. Таким чином ви знайдете «у». Ці значення «х» і «у» - координати вершини параболи.
    • Приклад: у = - х ^ 2 - 8x - 15 = - (- 4) ^ 2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (- 32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
      • у = 1

  3. 3

    Запишіть відповідь.
    • Приклад: вершина вихідної функції є точка О (-4,1).

Що вам знадобиться

  • Калькулятор
  • Олівець
  • Папір