Як знайти рівняння прямої
Для того, щоб знайти рівняння прямої, необхідно дві речі: а) точка на прямій і б) кутовий коефіцієнт прямої. Але спосіб знаходження цих величин і спосіб їх обробки залежать від конкретного завдання. Для спрощення ця стаття грунтується на рівнянні прямої виду y = mx + b, а не на загальному рівнянні прямої виду (y - y1) = M (x - x1).
Кроки
1
Визначтеся з невідомими. Перш, ніж знайти рівняння прямої, усвідомите величини, які необхідно обчислити. Зверніть увагу на наступне:- Точки задаються парами координат, наприклад, (-7, -8) або (-2, -6).
- Перше число в парі координат є координатою «х». Вона задає горизонтальне положення точки.
- Друге число в парі координат є координатою «у». Вона задає вертикальне положення точки.
- Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута між позитивним напрямом осі абсцис і прямою лінією. Він визначається як відношення зміни координати «у» до зміни координати «х».
- Дві прямі паралельні один одному, якщо вони не перетинаються.
- Дві прямі перпендикулярні один одному, якщо вони перетинаються під прямим кутом (90 градусів).
2
Запишіть задачу.- Вам дано точка і кутовий коефіцієнт.
- Вам дано дві точки, але не дано кутовий коефіцієнт.
- Вам дано точка і ще одна пряма, паралельна вашої.
- Вам дано точка і ще одна пряма, перпендикулярна вашої.
3
Вирішіть задачу за допомогою одного з чотирьох методів, описаних нижче (залежно від даної інформації).
Метод 1 з 4: Дано точка і кутовий коефіцієнт
1
Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні. Він дорівнює координаті «у» при х = 0. Для обчислення «b» обособьте цей коефіцієнт з одного боку рівняння. Тоді рівняння запишеться як: b = y - mx.- Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
- Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
- Віднімете результат з координати «у».
- Ви знайдете коефіцієнт «b».
2
Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).3
На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт.4
На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».5
Приклад. Дана точка прямої А (6, -5) і кутовий коефіцієнт прямої 2/3. Знайдіть рівняння прямої.- Обособьте «b»: b = y - mx.
- Підставте значення і знайдіть «b».
- b = -5 - (2/3) 6.
- b = -5 - 4.
- b = -9
- Двічі перевірте, що b = -9.
- Запишіть рівняння прямої: у = (2/3) х - 9.
Метод 2 з 4: Дано дві точки
1
Обчисліть кутовий коефіцієнт по двох точках. Кутовий коефіцієнт дорівнює відношенню зміни координати «у» до зміни координати «х». Формула для обчислення кутового коефіцієнта: (Y2 - Y1) / (X2 - X1)- Підставте в цю формулу координати даних точок (не має значення, які координати ви вважаєте першими, а які - другими). Наприклад:
- Дано точки А (3, 8) і В (7,12). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 12 - 8/7 - 3 = 4/4 = 1.
- Дано точки А (5,5) і В (9, 2). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 2 - 5/9 - 5 = -3/4.
- Підставте в цю формулу координати даних точок (не має значення, які координати ви вважаєте першими, а які - другими). Наприклад:
2
Виберіть одну з точок для подальшого вирішення завдання.3
Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні. Для цього перепишіть рівняння як: b = y - mx.- Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
- Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
- Віднімете результат з координати «у».
- Ви знайдете коефіцієнт «b».
4
Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).5
На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт.6
На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».7
Приклад. Дано точки прямої А (6, -5) і В (8, -12). Знайдіть рівняння прямої.- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
- -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2
- Кутовий коефіцієнт дорівнює -7/2.
- Перепишіть рівняння: b = y - mx.
- Підставте значення і обчисліть «b».
- b = -12 - (-7/2) 8.
- b = -12 - (-28).
- b = -12 + 28.
- b = 16
- Примітка: Так як ми використовували х = 8, то ми повинні також використовувати у = -12 (координати точки В). Якщо ми використовуємо х = 6, то необхідно також використовувати у = -5 (координати точки А).
- Двічі перевірте, що b = 16.
- Запишіть рівняння прямої: у = (-7/2) х + 16.
- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
Метод 3 з 4: Дано точка і паралельна пряма
1
Визначте кутовий коефіцієнт паралельної прямій. Запам`ятайте, що кутовий коефіцієнт - це коефіцієнт при «х», коли коефіцієнт при «у» дорівнює 1.- У рівнянні у = 3/4 х + 7 кутовий коефіцієнт дорівнює 3/4.
- У рівнянні у = 3x - 2 кутовий коефіцієнт дорівнює 3.
- У рівнянні у = 3x кутовий коефіцієнт знову дорівнює 3.
- У рівнянні у = 7 кутовий коефіцієнт дорівнює нулю (так як в цьому рівнянні немає членів з «х»).
- У рівнянні у = х - 7 кутовий коефіцієнт дорівнює 1.
- У рівнянні -3x + 4y = 8 кутовий коефіцієнт дорівнює 3/4.
- Щоб знайти кутовий коефіцієнт, обособьте «у» з одного боку рівняння:
- 4y = 3x + 8
- Розділіть обидві частини рівняння на "4": у = 3 / 4x + 2
2
Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні, використовуючи знайдене значення кутового коефіцієнта і рівняння: b = y - mx.- Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
- Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
- Відніміть результат з координати «у».
- Ви знайдете коефіцієнт «b».
3
Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).4
На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт, який ви знайшли раніше. У паралельних ліній кутовий коефіцієнт однаковий.5
На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».6
Приклад. Дана точка прямої А (4,3) і паралельна пряма, задана рівнянням 5x - 2y = 1. Знайдіть рівняння прямої.- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює кутовому коефіцієнту паралельної прямій. Тому обчисліть кутовий коефіцієнт паралельної прямій.
- -2y = -5x + 1
- Розділіть обидві сторони рівняння на -2: у = (5/2) x - (1/2)
- Кутовий коефіцієнт дорівнює 5/2.
- Перепишіть рівняння: b = y - mx.
- Підставте значення і знайдіть «b».
- b = 3 - (5/2) 4.
- b = 3 - (10).
- b = -7.
- Двічі перевірте, що b = -7.
- Запишіть рівняння прямої: у = (5/2) х - 7.
- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює кутовому коефіцієнту паралельної прямій. Тому обчисліть кутовий коефіцієнт паралельної прямій.
Метод 4 з 4: Дано точка і перпендикулярна пряма
1
Визначте кутовий коефіцієнт даної прямої (див. приклади, дані вище).2
Знайдіть негативну зворотний величину цього кутового коефіцієнта. Іншими словами, переверніть його і змініть знак. У випадку з перпендикулярними прямими їх кутові коефіцієнти назад один одному зі зміною знака кутового коефіцієнта. Наприклад:- 2/3 стає -3/2.
- -6/5 стає 5/6.
- 3 (або 3/1) стає -1/3.
- -1/2 стає 2.
3
Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні, використовуючи знайдене значення кутового коефіцієнта і рівняння: b = y - mx.- Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
- Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
- Відніміть результат з координати «у».
- Ви знайдете коефіцієнт «b».
4
Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).5
На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт, який ви знайшли раніше.6
На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».7
Приклад. Дана точка прямої А (8,1) і перпендикулярна пряма, задана рівнянням 4x + 2y = 9. Знайдіть рівняння прямої.- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої буде негативним зворотним величиною кутового коефіцієнта перпендикулярній прямій. Обчисліть кутовий коефіцієнт перпендикулярній прямій.
- 2y = -4x + 9
- Розділіть обидві сторони рівняння на 2: у = -4 / 2x + 9/2
- Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює -4/2 або -2.
- Негативний зворотний величина для -2 є 1/2.
- Перепишіть рівняння: b = y - mx.
- Підставте значення і знайдіть «b».
- b = -1 - (1/2) 8.
- b = -1 - (4).
- b = -5.
- Двічі перевірте, що b = -5.
- Запишіть рівняння прямої: у = 1 / 2х - 5.
- Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої буде негативним зворотним величиною кутового коефіцієнта перпендикулярній прямій. Обчисліть кутовий коефіцієнт перпендикулярній прямій.