Як знайти рівняння прямої

Для того, щоб знайти рівняння прямої, необхідно дві речі: а) точка на прямій і б) кутовий коефіцієнт прямої. Але спосіб знаходження цих величин і спосіб їх обробки залежать від конкретного завдання. Для спрощення ця стаття грунтується на рівнянні прямої виду y = mx + b, а не на загальному рівнянні прямої виду (y - y1) = M (x - x1).

Кроки

  1. 1

    Визначтеся з невідомими. Перш, ніж знайти рівняння прямої, усвідомите величини, які необхідно обчислити. Зверніть увагу на наступне:
    • Точки задаються парами координат, наприклад, (-7, -8) або (-2, -6).

    • Перше число в парі координат є координатою «х». Вона задає горизонтальне положення точки.

    • Друге число в парі координат є координатою «у». Вона задає вертикальне положення точки.

    • Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута між позитивним напрямом осі абсцис і прямою лінією. Він визначається як відношення зміни координати «у» до зміни координати «х».

    • Дві прямі паралельні один одному, якщо вони не перетинаються.

    • Дві прямі перпендикулярні один одному, якщо вони перетинаються під прямим кутом (90 градусів).

  2. 2

    Запишіть задачу.
    • Вам дано точка і кутовий коефіцієнт.

    • Вам дано дві точки, але не дано кутовий коефіцієнт.

    • Вам дано точка і ще одна пряма, паралельна вашої.

    • Вам дано точка і ще одна пряма, перпендикулярна вашої.

  3. 3

    Вирішіть задачу за допомогою одного з чотирьох методів, описаних нижче (залежно від даної інформації).

Метод 1 з 4: Дано точка і кутовий коефіцієнт

  1. 1

    Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні. Він дорівнює координаті «у» при х = 0. Для обчислення «b» обособьте цей коефіцієнт з одного боку рівняння. Тоді рівняння запишеться як: b = y - mx.
    • Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
    • Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
    • Віднімете результат з координати «у».
    • Ви знайдете коефіцієнт «b».

  2. 2

    Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).

  3. 3

    На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт.

  4. 4

    На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».

  5. 5

    Приклад. Дана точка прямої А (6, -5) і кутовий коефіцієнт прямої 2/3. Знайдіть рівняння прямої.
    • Обособьте «b»: b = y - mx.

    • Підставте значення і знайдіть «b».

      • b = -5 - (2/3) 6.
      • b = -5 - 4.
      • b = -9
    • Двічі перевірте, що b = -9.



    • Запишіть рівняння прямої: у = (2/3) х - 9.

Метод 2 з 4: Дано дві точки

  1. 1

    Обчисліть кутовий коефіцієнт по двох точках. Кутовий коефіцієнт дорівнює відношенню зміни координати «у» до зміни координати «х». Формула для обчислення кутового коефіцієнта: (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
    • Підставте в цю формулу координати даних точок (не має значення, які координати ви вважаєте першими, а які - другими). Наприклад:

      • Дано точки А (3, 8) і В (7,12). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 12 - 8/7 - 3 = 4/4 = 1.
      • Дано точки А (5,5) і В (9, 2). (Y2 - Y1) / (X2 - X1) = 2 - 5/9 - 5 = -3/4.

  2. 2

    Виберіть одну з точок для подальшого вирішення завдання.

  3. 3

    Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні. Для цього перепишіть рівняння як: b = y - mx.
    • Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
    • Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
    • Віднімете результат з координати «у».
    • Ви знайдете коефіцієнт «b».

  4. 4

    Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).

  5. 5

    На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт.

  6. 6

    На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».

  7. 7

    Приклад. Дано точки прямої А (6, -5) і В (8, -12). Знайдіть рівняння прямої.
    • Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)

      • -12 - (-5) / 8 - 6 = -7 / 2
      • Кутовий коефіцієнт дорівнює -7/2.
    • Перепишіть рівняння: b = y - mx.
    • Підставте значення і обчисліть «b».

      • b = -12 - (-7/2) 8.
      • b = -12 - (-28).
      • b = -12 + 28.
      • b = 16
      • Примітка: Так як ми використовували х = 8, то ми повинні також використовувати у = -12 (координати точки В). Якщо ми використовуємо х = 6, то необхідно також використовувати у = -5 (координати точки А).
    • Двічі перевірте, що b = 16.
    • Запишіть рівняння прямої: у = (-7/2) х + 16.

Метод 3 з 4: Дано точка і паралельна пряма

  1. 1

    Визначте кутовий коефіцієнт паралельної прямій. Запам`ятайте, що кутовий коефіцієнт - це коефіцієнт при «х», коли коефіцієнт при «у» дорівнює 1.


    • У рівнянні у = 3/4 х + 7 кутовий коефіцієнт дорівнює 3/4.
    • У рівнянні у = 3x - 2 кутовий коефіцієнт дорівнює 3.
    • У рівнянні у = 3x кутовий коефіцієнт знову дорівнює 3.
    • У рівнянні у = 7 кутовий коефіцієнт дорівнює нулю (так як в цьому рівнянні немає членів з «х»).
    • У рівнянні у = х - 7 кутовий коефіцієнт дорівнює 1.
    • У рівнянні -3x + 4y = 8 кутовий коефіцієнт дорівнює 3/4.

      • Щоб знайти кутовий коефіцієнт, обособьте «у» з одного боку рівняння:
      • 4y = 3x + 8
      • Розділіть обидві частини рівняння на "4": у = 3 / 4x + 2

  2. 2

    Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні, використовуючи знайдене значення кутового коефіцієнта і рівняння: b = y - mx.
    • Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
    • Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
    • Відніміть результат з координати «у».
    • Ви знайдете коефіцієнт «b».

  3. 3

    Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).

  4. 4

    На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт, який ви знайшли раніше. У паралельних ліній кутовий коефіцієнт однаковий.

  5. 5

    На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».

  6. 6

    Приклад. Дана точка прямої А (4,3) і паралельна пряма, задана рівнянням 5x - 2y = 1. Знайдіть рівняння прямої.
    • Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої дорівнює кутовому коефіцієнту паралельної прямій. Тому обчисліть кутовий коефіцієнт паралельної прямій.

      • -2y = -5x + 1
      • Розділіть обидві сторони рівняння на -2: у = (5/2) x - (1/2)
      • Кутовий коефіцієнт дорівнює 5/2.
    • Перепишіть рівняння: b = y - mx.

    • Підставте значення і знайдіть «b».
      • b = 3 - (5/2) 4.
      • b = 3 - (10).
      • b = -7.
    • Двічі перевірте, що b = -7.
    • Запишіть рівняння прямої: у = (5/2) х - 7.

Метод 4 з 4: Дано точка і перпендикулярна пряма

  1. 1

    Визначте кутовий коефіцієнт даної прямої (див. приклади, дані вище).

  2. 2

    Знайдіть негативну зворотний величину цього кутового коефіцієнта. Іншими словами, переверніть його і змініть знак. У випадку з перпендикулярними прямими їх кутові коефіцієнти назад один одному зі зміною знака кутового коефіцієнта. Наприклад:
    • 2/3 стає -3/2.
    • -6/5 стає 5/6.
    • 3 (або 3/1) стає -1/3.
    • -1/2 стає 2.

  3. 3

    Знайдіть коефіцієнт «b» в рівнянні, використовуючи знайдене значення кутового коефіцієнта і рівняння: b = y - mx.
    • Підставте значення кутового коефіцієнта і координати точки в це рівняння.
    • Перемножте кутовий коефіцієнт і координату «х».
    • Відніміть результат з координати «у».
    • Ви знайдете коефіцієнт «b».

  4. 4

    Запишіть рівняння прямої: у = ____ х + ____ (у тому числі пробіли).

  5. 5

    На місце першого пробілу впишіть кутовий коефіцієнт, який ви знайшли раніше.

  6. 6

    На місце другого пробілу впишіть коефіцієнт «b».

  7. 7

    Приклад. Дана точка прямої А (8,1) і перпендикулярна пряма, задана рівнянням 4x + 2y = 9. Знайдіть рівняння прямої.
    • Обчисліть кутовий коефіцієнт. Кутовий коефіцієнт шуканої прямої буде негативним зворотним величиною кутового коефіцієнта перпендикулярній прямій. Обчисліть кутовий коефіцієнт перпендикулярній прямій.

      • 2y = -4x + 9
      • Розділіть обидві сторони рівняння на 2: у = -4 / 2x + 9/2
      • Кутовий коефіцієнт перпендикулярної прямої дорівнює -4/2 або -2.
    • Негативний зворотний величина для -2 є 1/2.

    • Перепишіть рівняння: b = y - mx.
    • Підставте значення і знайдіть «b».

      • b = -1 - (1/2) 8.
      • b = -1 - (4).
      • b = -5.
    • Двічі перевірте, що b = -5.
    • Запишіть рівняння прямої: у = 1 / 2х - 5.