Як визначати парні і непарні функції

Ви можете визначити, чи є функція парній або непарній з її вигляду (алгебраїчний метод) або за її графіком (графічний метод). Ця стаття розповість вам про обох методах.




Метод 1 з 2: Алгебраїчний метод

  1. 1

    Замість «х» підставте у вихідну функцію «-х».
    • Приклад A: f (x) = 4x - 7
      • f (-x) = 4 (-x) - 7
    • Приклад B: f (x) = 5x - 2x
      • f (-x) = 5 (-x) - 2 (-x)
    • Приклад C: f (x) = 7x + 5x + 3
      • f (-x) = 7 (-x) + 5 (-x) + 3

  2. 2

    Проаналізуйте отриману функцію. Для цього згадайте правила зведення в ступінь і множення.
    • Приклад A: f (-x) = 4 (-x) - 7
      • Тут негативна величина, зведена в парну ступінь, призведе до позитивної величиною. Тому можна записати:
      • f (-x) = 4 (x) - 7
    • Приклад B: f (-x) = 5 (-x) - 2 (-x)
      • Тут негативна величина, зведена в непарну ступінь, призведе до негативної величиною. Тому знак «мінус» можна винести за дужки, перед цим помноживши -1 на множник, що стоїть перед дужками. Можна записати:
      • f (-x) = -5x + 2x
    • Приклад C: f (-x) = 7 (-x) + 5 (-x) + 3
      • Тут негативна величина, зведена в парну ступінь, призведе до позитивної величиною. Знак мінус (у другому члені) можна винести за дужки, перед цим помноживши -1 на множник, що стоїть перед дужками. Можна записати:
      • f (-x) = 7x - 5x + 3

  3. 3

    Якщо функція f (-x) має той же вигляд, що і початкова функція f (x), то початкова функція f (x) - парна. Якщо функція f (-x) відрізняється від вихідної функції f (x) знаком, то початкова функція f (x) - непарна. Якщо жодна з умов не дотримується, то функція не є ні парною, ні непарною.
    • У парної функції вид f (x) і вид f (-x) повинні бути ідентичними.
    • У непарної функції всім знакам плюс в f (x) відповідають знаки мінус в f (-x) (і навпаки).
    • Запишемо це алгебраїчно:
      • У парної функції: f (x) = f (-x)
      • У непарної функції: f (-x) = f (х)
      • В іншому випадку: f (-x)? f (x) - f (-x)? -f (x)
    • Приклад A: f (x) = 4x - 7
      • f (-x) = 4 (x) - 7
      • Ця функція парна.
      • Примітка: як правило, в парної функції перед кожним «х» стоїть знак плюс.
    • Приклад B: f (x) = 5x - 2x
      • f (-x) = -5x + 2x
      • Ця функція непарна.
      • Примітка: якщо всі показники ступеня «х» - непарні, то і сама функція непарна.
    • Приклад C: f (x) = 7x + 5x + 3
      • f (-x) = 7x - 5x + 3
      • Ця функція ні парна, ні непарна.
      • Примітка: якщо показники ступеня «х» як парні, так і непарні, то функція ні парна, ні непарна.

Метод 2 з 2: Графічний метод

  1. 1

    Побудуйте графік функції (найкраще на міліметрівці). Для цього підставте у функцію різні значення «х» і знайдіть відповідні значення «у» (тобто ви отримаєте координати точок).
    • При побудові графіка f (х) замінюється на «у».
    • Нанесіть шкалу на вісь Х і вісь Y.


    • Підставте в функцію як позитивні, так і протилежні їм за знаком значення «х».
    • Приклад: f (x) = 2x + 1
      • Знайдіть координати точок графіка:
      • f (1) = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3- [1, 3]
      • f (2) = 2 (2) + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9- [2, 9]
      • f (-1) = 2 (-1) + 1 = 2 + 1 = 3- [-1, 3]
      • f (-2) = 2 (-2) + 1 = 2 (4) +1 = 8 + 1 = 9- [-2, 9]

  2. 2

    Порівняйте значення «у» при «х» і «-x». Для цього знайдіть відповідні значення «у» на графіку.
    • Приклад: на графіку знайдіть f (3) і f (-3).
      • х = 3 у = 19
      • х = -3- у = 19

  3. 3

    Якщо функція парна, то вона симетрична щодо осі Y. Якщо функція непарна, то вона симетрична відносно початку координат. Якщо жодна з умов не дотримується, то функція не є ні парною, ні непарною.
    • «Симетрична щодо осі Y» означає, що графік праворуч від осі Y дзеркально відображає графік зліва від осі Y.
    • «Симетрична відносно початку координат» означає, що графік у правій верхній чверті координатної площини дзеркально відображає графік в лівій нижній чверті координатної площині-аналогічно: графік у лівій верхній чверті координатної площини дзеркально відображає графік у правій нижній чверті координатної площини.
    • У нашому прикладі значенням «х» і «-х» відповідає одне значення «у», тому функція є парною.

Додаткові приклади графічного методу

  1. 1

    f (x) = x.
    • Знайдіть координати точок графіка:
      • f (1) = (1) = 1- [1, 1]
      • f (-1) = (-1) = -1- [-1, -1]
      • f (3) = (3) = 27- [3, 27]
      • f (-3) = (-3) = -27- [-3, -27]
    • Порівняйте значення «у» при «х» і «-x». Для цього знайдіть відповідні значення «у» на графіку.
      • х = 2- у = 8
      • х = -2- у = -8
    • Ця функція непарна.

  2. 2

    f (x) = x - 2x.
    • Знайдіть координати точок графіка:
      • f (1) = (1) - 2 (1) = 1 - 2 = -1- [1, -1]
      • f (-1) = (-1) - 2 (-1) = 1 + 2 = 3- [-1, 3]
      • f (3) = (3) - 2 (3) = 9 - 6 = 3- [3, 3]
      • f (-3) = (-3) - 2 (-3) = 9 + 6 = 15- [-3, 15]
    • Порівняйте значення «у» при «х» і «-x». Для цього знайдіть відповідні значення «у» на графіку.
      • x = 2- y = 0
      • x = -2- y = 8
    • Ця функція ні парна, ні непарна.

Що вам знадобиться

  • Олівець
  • Папір
  • Міліметрівка
  • Калькулятор (опціонально)