Як довести теорему Піфагора
Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Вона названа на честь Піфагора Самоський, який сформулював і довів її. Він жив у 6 столітті до н.е. в Греції.
Кроки
1
Розглянемо чотири домірних (сірого кольору) прямокутних трикутника. Позначимо їх катети через «a» і «b», а гіпотенузу через «c». Нам потрібно довести, що a + b = c2
З трикутників складемо квадрат зі стороною, рівною a + b.- Фігура зеленого кольору всередині квадрата також схожа на квадрат. Чи так це?
- Всі сторони фігури рівні «с».
- При повороті фігури на 90 градусів ми отримаємо той же самий результат. Отже, кожен з чотирьох кутів фігури прямій.
- Якщо в чотирикутнику всі кути прямі, а сторони рівні, то це квадрат.
3
Тепер розташуйте чотири трикутники всередині того ж квадрата так, як показано на малюнку.- Сторона синього квадрата дорівнює «b», а сторона червоного квадрата дорівнює «а».
4
Тепер порівняйте два випадки різного розташування трикутників всередині квадратів.- Загальна площа отриманих квадратів дорівнює, тому що в обох випадках сторона квадрата дорівнює a + b.
- В обох випадках в квадрат вписано однакову кількість трикутників, які не перекриваються.
- Це означає, що площі областей квадратів, не зайняті трикутниками, також рівні в обох випадках.
- Це означає, що сума площ синього і червоного квадратів дорівнює площі зеленого квадрата.
5
Площа синього квадрата дорівнює a, площа червоного квадрата дорівнює b, площа зеленого квадрата дорівнює c.6
Таким чином: a + b = c. Теорема Піфагора доведена!
Поради
- Можна вирішити і зворотну задачу. Якщо теорема Піфагора застосовна до деякого трикутнику, наприклад, зі сторонами 3, 4, 5, то такий трикутник є прямокутним.
- Існує 367 способів довести теорему Піфагора.
- Є нескінченно багато поєднань сторін трикутника, що задовольняють теоремі Піфагора, наприклад, (3, 4, 5) і (5, 12, 13).
- Інші докази можна знайти на сайті proofwiki.
- Теорема Піфагора вірна виключно в разі прямокутних трикутників.