Як довести теорему Піфагора

Теорема Піфагора: у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Вона названа на честь Піфагора Самоський, який сформулював і довів її. Він жив у 6 столітті до н.е. в Греції.

Кроки

  1. 1

    Розглянемо чотири домірних (сірого кольору) прямокутних трикутника. Позначимо їх катети через «a» і «b», а гіпотенузу через «c». Нам потрібно довести, що a + b = c

  2. 2

    З трикутників складемо квадрат зі стороною, рівною a + b.
    • Фігура зеленого кольору всередині квадрата також схожа на квадрат. Чи так це?
    • Всі сторони фігури рівні «с».
    • При повороті фігури на 90 градусів ми отримаємо той же самий результат. Отже, кожен з чотирьох кутів фігури прямій.



    • Якщо в чотирикутнику всі кути прямі, а сторони рівні, то це квадрат.

  3. 3

    Тепер розташуйте чотири трикутники всередині того ж квадрата так, як показано на малюнку.
    • Сторона синього квадрата дорівнює «b», а сторона червоного квадрата дорівнює «а».

  4. 4

    Тепер порівняйте два випадки різного розташування трикутників всередині квадратів.
    • Загальна площа отриманих квадратів дорівнює, тому що в обох випадках сторона квадрата дорівнює a + b.


    • В обох випадках в квадрат вписано однакову кількість трикутників, які не перекриваються.
    • Це означає, що площі областей квадратів, не зайняті трикутниками, також рівні в обох випадках.
    • Це означає, що сума площ синього і червоного квадратів дорівнює площі зеленого квадрата.

  5. 5

    Площа синього квадрата дорівнює a, площа червоного квадрата дорівнює b, площа зеленого квадрата дорівнює c.

  6. 6

    Таким чином: a + b = c. Теорема Піфагора доведена!

Поради

  • Можна вирішити і зворотну задачу. Якщо теорема Піфагора застосовна до деякого трикутнику, наприклад, зі сторонами 3, 4, 5, то такий трикутник є прямокутним.
  • Існує 367 способів довести теорему Піфагора.
  • Є нескінченно багато поєднань сторін трикутника, що задовольняють теоремі Піфагора, наприклад, (3, 4, 5) і (5, 12, 13).
  • Інші докази можна знайти на сайті proofwiki.
  • Теорема Піфагора вірна виключно в разі прямокутних трикутників.