Як скласти цілі числа від 1 до N

Цілі числа - це числа, що не містять дробову або десяткову частину. Якщо в задачі потрібно скласти певну кількість цілих чисел від 1 до заданого значення N, то їх не потрібно складати вручну. Замість цього скористайтеся формулою (N (N + 1)) / 2, де N - найбільше число ряду.

Кроки

1. 

   1

   Визначте найбільше ціле число (N). Підсумовуючи цілі числа від 1 до будь-якого заданого числа N, ви повинні визначити значення N (N не може бути десятковим числом або дробом чи негативним числом).
   • Приклад. Знайдіть суму всіх цілих чисел від 1 до 100. У цьому випадку N = 100, так як це найбільше (і кінцеве) число даного вам числового ряду.

2. 

   2

   Помножте N на (N +1) і розділіть результат множення на 2. Коли ви визначили ціле значення N, підставте його в формулу (N (N + 1)) / 2 і ви знайдете суму всіх цілих чисел від 1 до N.
   • Приклад. Підставте N = 100 і отримаєте (100 (100 + 1)) / 2.

3. 

   3

   Запишіть відповідь. Остаточну відповідь є сума всіх цілих чисел від 1 до даного N.
   • Приклад.
     • (100 (100 + 1)) / 2 =
     • (100 (101)) / 2 =
     
     
     
     
     
     • (10100) / 2 = 5050
     • Сума всіх цілих чисел від 1 до 100 дорівнює 5050.

4. 

   4

   Висновок формули (N (N + 1)) / 2. Ще раз розглянемо вищеописаний приклад. Подумки розділіть ряд 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 на два ряди - перший від 1 до 50, а другий від 51 до 100. Якщо ви складете перше число (1) першого ряду і останнє число (100 ) другого ряду, то ви отримаєте 101. Ви також отримаєте 101, якщо складіть 2 і 99, 3 і 98, 4 і 97, і так далі. Якщо кожне число першої групи скласти з відповідним числом другої групи, то в результаті ми отримаємо 50 чисел, кожне з яких дорівнює 101. Тому 50 * 101 = 5050 - сума чисел від 1 до 100. Зверніть увагу, що 50 = 100/2 і 101 = 100 + 1. Насправді це справедливо для суми будь-яких позитивних цілих чисел: їх підсумовування можна розбити на два етапи з двома рядами чисел, причому відповідні числа в кожному ряду можуть бути складені один з одним, а результат складання буде однаковим.
   • Можна сказати, що сума цілих чисел від 1 до N дорівнює (N / 2) (N + 1). Спрощена запис цієї формули є формула (N (N + 1)) / 2.

Обчислення суми чисел, розташованих між двома числами, за допомогою суми від 1 до N

1. 

   1

   Визначте варіант підсумовування (включно чи ні). Часто в задачах замість того, щоб знайти суму чисел від 1 до заданого числа N, просять знайти суму цілих чисел від N₁ до N₂, де N₂> N₁ і обидва числа> 1. Обчислити таку суму досить просто, але, перш ніж приступати до обчислень, ви повинні визначити, чи включаються дані числа в N₁ і N₂ в кінцеву суму чи ні.

2. 2

   Щоб знайти суму цілих чисел між двома числами N₁ and N₂, окремо знайдіть суму до N₁, окремо знайдіть суму до N₂ і відніміть їх один з одного (відніміть суму до меншого значення N з суми до більшого значення N). При цьому важливо знати, підсумовувати Чи включно чи ні. При підсумовуванні включно ви повинні відняти 1 з даного значення N₁- в іншому випадку ви повинні відняти 1 з даного значення N₂.
   • Приклад. Знайдемо суму («включно») цілих чисел від N₁ = 75 до N₂ = 100. Іншими словами, ми повинні знайти 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Щоб вирішити завдання, ми повинні знайти суму цілих чисел від 1 до N₁-1, а потім відняти її від суми чисел від 1 до N₂ (Запам`ятайте: при підсумовуванні включно ми віднімаємо 1 з N₁):

     

     • (N₂(N₂ + 1)) / 2 - ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 =
     • (100 (100 + 1)) / 2 - (74 (74 + 1)) / 2 =
     
     
     
     • 5050 - (74 (75)) / 2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275. Сума чисел від 75 до 100 («включно») дорівнює 2275.
   • Тепер знайдемо суму чисел без включення даних чисел (іншими словами, ми повинні знайти 76 + 77 + ... + 99). У цьому випадку ми віднімаємо 1 з N₂:

     

     • ((N₂-1) ((N₂-1) + 1)) / 2 - (N₁(N₁ + 1)) / 2 =
     • (99 (99 +1)) / 2 - (75 (75 + 1)) / 2 =
     • (99 (100)) / 2 - (75 (76)) / 2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100. Сума чисел від 75 до 100 (без включення цих чисел) дорівнює 2100.

3. 

   3

   Усвідомте процес. Уявіть собі суму цілих чисел від 1 до 100 як 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 і суму цілих чисел від 1 до 75 як 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Сума цілих чисел від 75 до 100 («включно») є обчислення: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Сума чисел від 1 до 75 і сума чисел від 1 до 100 дорівнюють до числа 75, але сума чисел від 1 до 100 після числа 75 триває: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Таким чином, віднімаючи суму чисел від 1 до 75 з суми чисел від 1 до 100 ми «ізолюємо» суму цілих чисел від 75 до 100.
   • Якщо ми підсумовуємо включно, ми повинні використовувати суму від 1 до 74, а не на суму від 1 до 75, щоб включити число 75 в кінцеву суму.
   • Аналогічно, якщо ми підсумовуємо без включення даних чисел, ми повинні використовувати суму від 1 до 99, а не на суму від 1 до 100, щоб виключити число 100 з кінцевої суми. Ми можемо використовувати суму від 1 до 75, так як її віднімання з суми від 1 до 99 виключає число 75 з кінцевої суми.

Поради

• В результаті обчислення суми завжди виходить ціле число, тому що або N, або N +1 - парне число, яке ділиться на 2 без залишку.
• Сума [a до b] = Сума [1 до b] - Сума [1 до a-1].
  
  
• Іншими словами: Сума [1 до n] = n (n + 1) / 2

Попередження

• Хоча поширити цей метод на негативні числа не дуже складно, в даній статті розглядаються тільки будь-які позитивні цілі числа N, де N більше або дорівнює 1.