Як побудувати фрактал безліч Аполлона
Безліч Аполлона - це вид фрактала, який будується за допомогою постійно зменшуються в діаметрі кіл в одній великій окружності. Кожна окружність в безлічі Аполлона є «дотичній» до суміжних окружностям, іншими словами кола в безлічі Аполлона стикаються тільки в нескінченно малою точці. Він названий на честь грецького математика Аполлонія Пергського. Цей тип фрактала помірного ступеня складності можна побудувати на комп`ютері або вручну, при цьому створюється красиве і яскраве зображення. Дивіться Крок 1 нижче, щоб почати роботу.
Кроки
Частина 1 з 2: Дізнайтеся про основні концепції
Якщо ви просто зацікавлені в побудові безлічі Аполлона, то необов`язково проводити математичні дослідження фрактала. Однак, якщо ви хочете глибше зрозуміти цей фрактал, важливо дізнатися визначення ряду понять, які будуть використовуватися в обговоренні даної теми.
1
Визначте ключові терміни. В інструкції нижче використовуються такі терміни:- Безліч Аполлона: одне з декількох назв виду фрактала, який складається з групи кіл, розташованих в великому колу і стосуються всіх суміжних. Він також називається «Кола Содди» або «Цілуються кола».
- Радіус кола: відстань від центру кола до точки, що лежить на колі. Зазвичай позначається змінної «r».
- Кривизна окружності: позитивна чи негативна зворотній радіусу величина, або ± 1 / r. Кривизна є позитивною для зовнішньої сторони кола, і негативною - для внутрішньої.
- Дотична: термін застосовується до ліній, площин і постатям, які перетинаються в одній нескінченно малою точці. У безлічі Аполлона це посилається на той факт, що кожна окружність стосується сусідньої тільки в одній точці. Зверніть увагу, що перетин відсутня - дотичні фігури не перекриваються.
2
Розберіться в теоремі Декарта. Теорема Декарта - це формула, яка використовується при підрахунку розмірів кіл в безлічі Аполлона. Якщо ми визначимо кривизну (1 / r) будь-яких трьох кіл, як a, b, і c відповідно, а теорема свідчить, що кривизна кола (або кіл), яка є дотичною до всіх трьох колах, позначену d,дорівнює: d = a + b + c ± 2 (v (a? b + b? c + c? a)).- Для наших цілей ми будемо використовувати тільки відповідь, яку ми отримали, поставивши знак плюс перед квадратним коренем (іншими словами, ... +2 (v (...)). В даний час, досить знати, що спосіб віднімання в рівнянні використовується в інших пов`язаних з ним завданнях.
Частина 2 з 2: Побудова безлічі Аполлона
Безліч Аполлона приймає форму красивою фрактальної конструкції з сокращающихся в розмірі кіл. Математично безліч Аполлона нескінченно складне, але чи використовуєте ви комп`ютерну програму, або традиційні інструменти для малювання, ви в кінцевому підсумку досягнете того моменту, коли буде неможливо намалювати коло меншого розміру. Зауважте, що чим більш точно ви малюєте окружності, тим більше вони будуть відповідати безлічі Аполлона.
1
Зберіть цифрові й аналогові інструменти для малювання. У кроках нижче ми побудуємо наше просте безліч Аполлона. Можна побудувати безліч самим або за допомогою комп`ютера. У будь-якому випадку вам потрібно намалювати ідеально рівні кола. Це досить важливо. Так як кожна окружність під фрактале повинна ідеально стикатися з суміжними колами, будь-який навіть злегка деформований коло може зіпсувати ваш кінцевий результат.- Якщо ви будуєте безліч на комп`ютері, вам знадобиться програма, яка дозволяє з легкістю малювати кола фіксованого радіуса. Gfig - розширення векторної графіки для безкоштовної програми редагування зображень GIMP. Воно може бути використано в широкому ряді інших графічних програм. Можливо вам буде потрібно калькулятор і текстовий редактор, або звичайний блокнот для заміток про радіусах і кривизні.
- Для малювання безлічі вручну, вам знадобиться калькулятор (бажано науковий або графічний), олівець, циркуль, лінійка (бажано з міліметровою розміткою), міліметровий папір і блокнот для нотаток.
2
Почніть з однієї великої окружності. Ваша перша задача - просто намалювати одну велику, ідеально рівну окружність. Чим більше коло, тим складніше може бути ваш фрактал, тому намагайтеся побудувати таку окружність, яку дозволяє розмір паперу, або так, щоб можна було її повністю бачити на екрані в графічній програмі.
3
Намалюйте коло поменше в першій кола, яка буде торкатися її в одній точці. Отже, накресліть коло всередині нашої першої окружності, вона буде менше, ніж основна, але все одно достатньо велика. Точний розмір другого кола залежить від вас, так як немає встановленого розміру. Однак, давайте накреслимо друге коло так, щоб вона займала половину основного кола. Іншими словами, її центр - це середина радіуса більшої окружності.- Запам`ятайте, що в безлічі Аполлона всі кола є дотичними один до одного. Якщо ви користуєтеся циркулем при побудові кіл, відтворити цей ефект, поставивши гострий кінець циркуля посередині радіуса основного кола, і відрегулювати олівець циркуля таким чином, щоб він просто торкався краю кола, і потім намалюйте меншу внутрішню окружність.
4
Накресліть ідентичну окружність поруч з меншою внутрішньої окружністю. Отже, давайте намалюємо іншу окружність поруч з першою. Окружність повинна бути дотичній до обох окружностям: зовнішньої більшою і внутрішньої меншою, що означає, що обидві внутрішніх окружності стикнутися точно в центрі великої.
5
Застосуйте теорему Декарта, щоб обчислити розміри наступних кіл. На мить перестанемо малювати. Тепер, коли у нас є три кола під фрактале, ми можемо використовувати теорему Декарта, щоб знайти радіус наступній кола, яку будемо малювати. Запам`ятайте рівняння теореми Декарта d = a + b + c ± 2 (v (a? b + b? c + c? a)), де a, b, і c є кривизною трьох дотичних кіл і d - кривизна окружності дотичній до всіх трьох. Тому, щоб знайти радіус нашого наступного кола, давайте розрахуємо кривизну кожної наявної у нас окружності, поки не зможемо знайти кривизну наступній кола і потім розрахуємо її радіус.- Давайте визначимо радіус зовнішньої окружності як 1. Так як інші окружності знаходяться всередині неї, ми маємо справу з «внутрішньої» кривизною (замість зовнішньої), і, отже, ми знаємо, що вона негативна. - 1 / r = -1/1 = -1. Так кривизна великий кола дорівнює -1.
- Радіус менших кіл становить половину радіуса великий, тобто 1/2. Так як ці окружності стикаються один з одним і основний окружністю зовнішніми сторонами, ми маємо справу із зовнішньою кривизною, позитивною. 1 / (1/2) = 2. Тому кривизна менших кіл дорівнює 2.
- Тепер ми знаємо, що a = -1, b = 2, і c = 2 в нашому рівнянні теореми Декарта. Давайте обчислимо d:
- d = a + b + c ± 2 (v (a? b + b? c + c? a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (v (-1? 2 + 2? 2 + 2? -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (v (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
- d = 3. Кривизна наступній окружності 3. Так як 3 = 1 / r, радіус цієї окружності буде дорівнює 1/3.
6
Накресліть наступну пару кіл. Щоб намалювати наступні дві окружності, використовуйте значення радіусу, які ви тільки що знайшли. Не забувайте, що ці окружності є дотичними до тих, чия кривизна була використана при підрахунку теореми Декарта. Іншими словами, вони стосуватимуться і основний і вторинних кіл. Щоб ці кола стосувалися трьох інших, вам потрібно накреслити їх у вільній області зверху і знизу в основному колі.- Пам`ятайте, що радіус цих кіл дорівнює 1/3. Відміряйте 1/3 від краю зовнішньої окружності і потім накресліть нову. Вона повинна бути дотичній до всіх трьох довколишніх окружностям.
7
Таким чином продовжуйте додавати кола. Так як вони є фракталами, безліч Аполлона нескінченно складне. Це означає, що ви можете додавати окружності все меншого і меншого розміру до основи фрактала. Ви обмежені лише точністю ваших інструментів (або, якщо ви використовуєте комп`ютер, здатністю графічної програми до збільшення). Кожна окружність, якою б маленькою вона не була, повинна бути дотичною до трьох інших. Щоб намалювати кожну наступну окружність, використовуйте значення кривизни трьох дотичних до неї кіл для теореми Декарта. Потім за допомогою відповіді точно накресліть нову окружність.- Зверніть увагу, що безліч, яку ми обрали для побудови, симетрично, тому радіус одній окружності такий же, як радіус ідентичною їй окружності. Однак, не всі безлічі Аполлона симетричні.
- Давайте розберемо ще один приклад. Припустимо, після побудови останньої пари кіл, ми захочемо накреслити кола, дотичні до нашої третій парі і основного кола. Кривизна цих кіл дорівнює 3, 2 і -1 відповідно. Тепер включаємо ці числа в теорему Декарта, встановивши, що a = -1, b = 2, і c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (v (a? b + b? c + c? a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (v (-1? 2 + 2? 3 + 3? -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (v (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (v (1))
- d = 2, 6. У нас дві відповіді! Однак, ми знаємо, що наша нова окружність буде менше, ніж дотичні до неї, значить мати сенс буде тільки значення кривизни 6 (А радіус 1/6).
- Інший відповідь, 2, насправді ставиться до гіпотетичної кола на «іншій стороні» точки дотичній до другої і третьої окружності. Ця окружність є дотичною до обох цих кіл і до основної, але вона буде перетинати ті кола, які ми вже намалювали, тому можна проігнорувати цю відповідь.
8
В якості випробування, постарайтеся побудувати несиметричне безліч Аполлона, змінюючи розмір другої кола. Всі безлічі Аполлона починають будувати з одного і того ж - з великої зовнішньої окружності, яка і є кордоном фрактала. Однак, немає необхідності в тому, щоб радіус другий окружності дорівнював 1/2 першою. Ми просто вирішили взяти ці числа для простоти і легкості в розумінні. Для задоволення спробуйте побудувати нове безліч з другої окружністю іншого розміру - це призведе до нових напрямків у дослідженні.- Після того як побудуєте друге коло (незалежно від її розміру), вашим наступним дією має бути побудова однієї (або більше) окружності, яка є дотичною і до другої, і до основної зовнішньої окружностям - ні єдино вірного способу, як її побудувати. Після цього ви можете скористатися теоремою Декарта для визначення радіуса наступних кіл, як показано вище.
