Як розкласти двочлен на множники

Двочлен - це вираження алгебри з двома членами, пов`язаними знаком плюс або мінус. Один з членів обов`язково включає змінну, а інший може включати її чи ні (тобто може бути вільним членом). Розкладання двочлена на множники означає знаходження таких членів, які при перемножуванні призводять до вихідного двучленной. Спосіб розкладання залежить від членів вихідного двочлена.




Частина 1 з 4: Визначення методу розкладання двочлена на множники

  1. 1

    Впорядкуйте члени. Запис двочлена у вигляді 16 + 4х є пріемлемой- однак, в більшості випадків члени будь-яких многочленів (включаючи двочлена) записуються, починаючи з члена, що містить змінну вищого порядку. Таким чином, правильніше записати вищенаведений двочлен як 4x + 16, а двочлен 27 + x як x + 27.

  2. 2

    Один або два члена зі зміною. Якщо обидва члени двочлена містять змінну, то ви повинні врахувати це. При розкладанні такого двочлена змінна виноситься за дужки.
    • Наприклад, якщо вихідний двочлен має вигляд x - 3x, винесіть змінну «х» за дужки: х (х - 3). Якщо вихідний двочлен має вигляд x + 60x, винесіть змінну x за дужки: x (x + 60).

  3. 3

    Подивіться на ступінь змінної. Значення мірі визначає метод розкладання двочлена на множники.
    • Якщо ступінь змінної дорівнює 1, читайте другий розділ цієї статті.
    • Якщо ступінь змінної дорівнює 2 або кратна 2 і між членами двочлена стоїть знак мінус, читайте третій розділ цієї статті.
    • Якщо ступінь змінної дорівнює 3 або кратна 3, читайте четвертий розділ цієї статті.

Частина 2 з 4: Розкладання на множники двочлена першого ступеня

  1. 1

    Знайдіть найбільший спільний дільник (НСД) для коефіцієнта при змінної і для вільного члена. Коефіцієнт - це число, що стоїть при переменной- вільний член - член, що не містить змінної. Наприклад, в двучленной 2x + 9 коефіцієнт дорівнює 2, а вільний член дорівнює 9. Якщо при змінної коефіцієнта немає, то він дорівнює 1.
    • Наприклад, для двочлена 2x + 8 НОД = 2. Для двочлена 4x - 16 НОД = 4.

  2. 2

    Розділіть коефіцієнт і вільний член на НОД і винесіть НОД за дужки.
    • Наприклад, 2x + 8 = 2 (х + 4). Наприклад, 4x - 16 = 4 (х - 4).
    • Для двочлена, у якого обидва члени містять змінну, виносьте за дужку як НОД, так і змінну (нижчого порядку). Наприклад, для двочлена 3x - 9x НОД = 3, а змінна нижчого порядку є «х». Тому за дужку виносимо 3x. Такому чином, 3x - 9x = 3x (x - 3).

Частина 3 з 4: Розкладання різниці квадратів

  1. 1

    Перевірте, що коефіцієнт і вільний член є повними квадратами. Якщо ступінь змінної дорівнює 2 або кратна 2 (x, x, x і т.д.), упевніться, що і коефіцієнт, і вільний член є повними квадратами (тобто з них можна витягти квадратний корінь).
    • У двучленной (4x - 9) 4 є повним квадратом (2 * 2 = 4) і 9 є повним квадратом (3 * 3 = 9), тому цей двочлен можна розкласти на множники.


    • У двучленной (4x - 7) 4 є повним квадратом (2 * 2 = 4), але 7 не є повним квадратом, тому цей двочлен не можна розкласти на множники.
    • У двучленной (2x - 9) 9 є повним квадратом (3 * 3 = 9), але 2 не є повним квадратом, тому цей двочлен не можна розкласти на множники.
    • Пам`ятайте, що якщо при змінної коефіцієнта немає, то він дорівнює 1, яка є повним квадратом (1 * 1 = 1).

  2. 2

    Розкладіть різницю квадратів на множники виду: (Ax + b) (ax - b), де «а» - значення коефіцієнта (одно квадратному кореню з коефіцієнта вихідного двочлена), «b» - значення вільного члена (одно квадратному кореню з вільного члена вихідного двочлена).
    • Двочлен 4x - 9 розкладається на наступні множники: (2х + 3) (2х - 3).
    • Двочлен x - 256 розкладається на множники двічі. Перше розкладання: так як (х ^ 2) ^ 2 = х ^ 4 і 16 ^ 2 = 256, то x - 256 = (x + 16) (x - 16).
    • Друге розкладання: так як отриманий двочлен (x - 16) - це різниця квадратів, яка розкладається на (x + 4) (x - 4), то x - 256 = (x + 16) (x + 4) (x - 4 ).

Частина 4 з 4: Розкладання на множники суми або різниці кубів

  1. 1

    Перевірте, що коефіцієнт і вільний член є повними кубами. Якщо ступінь змінної дорівнює 3 або кратна 3 (x, x, x і т.д.), упевніться, що і коефіцієнт, і вільний член є повними кубами (тобто з них можна витягти корінь третього ступеня).

  2. 2

    Визначтеся зі знаком між членом зі змінною і вільним членом (плюс або мінус). Від знака залежить спосіб розкладання двочлена.
    • Якщо вільний член додається до члена зі змінною: (ax + b) = (ax + b) (ax - abx + b). Наприклад, x + 27 = (x + 3) (x - 3x + 9).
    • Якщо вільний член віднімається з члена зі змінною: (ax - b) = (ax - b) (ax + abx + b). Наприклад, x - 27 = (x-3) (x + 3x + 9).
    • У деяких випадках отриманий тричлен теж можна розкласти на множники.

Поради

  • Змінна в шостого ступеня (x) є як ідеальним квадратом, так і ідеальним кубом. Таким чином, при розкладанні двочлена із змінною в шостого ступеня і знаком мінус між членами (x - 64) ви можете використовувати відповідні формули як з третього, так і з четвертого розділів даної статті. Тим не менш, спочатку рекомендуємо застосувати формулу для розкладання різниці квадратів (тим більше що легше розпізнати повний квадрат, ніж повний куб- більшість людей визначить 64 як 8, а не як 4).

Попередження

  • Сума квадратів може бути розкладена на множники з використанням уявних чисел.