Як вирішувати квадратні нерівності
Стандартний вид квадратного нерівності: ax + bx + c < 0 (или> 0). Вирішити нерівність - це знайти такі значення «х», які задовольняють нерівності. Знайдені значення «х» називаються безліччю рішень нерівності. Безлічі рішень нерівностей виражаються у вигляді інтервалів. Існують 3 основних методи вирішення квадратних нерівностей: метод числової прямої, алгебраїчний метод (найпоширеніший) і графічний метод.
Кроки
Частина 1 з 3: Рішення квадратних нерівностей (4 кроку)
1
Крок 1. Перепишіть нерівність так, щоб його три члени опинилися на лівій стороні, а на правій стороні напишіть 0.- Приклад. Нерівність: х (6x + 1) < 15 преобразуйте в 6x + x - 15 < 0.
2
Крок 2. Вирішіть квадратне рівняння, яке може бути без коренів, з одним або з двома країнами.- Використовуйте формулу для коренів квадратного рівняння (вірна в будь-яких випадках).
- Використовуйте розкладання на множники (у разі раціональних коренів).
- Використовуйте додаток до квадрата (вірно в будь-яких випадках).
- Використовуйте графічний метод (приблизний).
- Використовуйте метод суми діагональних елементів.
3
Крок 3. Вирішіть квадратне нерівність на основі значень двох дійсних коренів.- Ви можете вибрати один з двох способів:
- Спосіб 1. Використовуйте числову пряму. Нанесіть на неї знайдені коріння. Вони розділять пряму на відрізок і два промені. Завжди використовуйте точку початку відліку в якості контрольного значення. Для цього підставте х = 0 в дане квадратне нерівність. Якщо нерівність дотримано, то початок відліку знаходиться на правильному відрізку (або промені).
- Примітка. За допомогою цього методу ви можете використовувати дві або навіть три числові прямі для вирішення систем квадратних нерівностей з однією змінною.
- Спосіб 2. Використовуйте алгебраїчний метод.
- Залежність знака функції від знака коефіцієнта «а»:
- Між двох дійсних коренів функція позитивна, якщо «а» негативний.
- Між двох дійсних коренів функція негативна, якщо «а» позитивний.
- Ви можете зрозуміти цю залежність, подивившись на перетину графіка функції (параболи) з віссю Х. Якщо «а» позитивний, то парабола дивиться вгору. Між двома точками перетину параболи з віссю Х якась частина параболи знаходиться під віссю Х, тобто в цьому інтервалі значень «х» функція негативна (і за знаком протилежна «а»).
- У цьому методі ви можете побудувати таблицю залежності знака функції від знака «а».
- Залежність знака функції від знака коефіцієнта «а»:
- Ви можете вибрати один з двох способів:
4
Крок 4. Запис відповіді у вигляді інтервалів.- Приклади інтервалів:
- (A, b) - відкритий інтервал (кінцеві значення не включені).
- [A, b] - замкнутий інтервал (кінцеві значення включені).
- (- ?, B] - напівзамкнений інтервал (значення b включено).
- Примітка 1. Якщо квадратне рівняння не має дійсних коренів (дискриминант D <0), то функция всегда положительна (или всегда отрицательна, в зависимости от знака «а»). Это означает, что множества решений нет или что оно лежит на всей числовой прямой. Если дискриминант равен нулю, то множества решений нет, или оно заключается в одном значении, или оно лежит на всей числовой прямой за исключением одного значения, или оно лежит на всей числовой прямой.
- Приклад: Вирішіть 15x ^ 2 - 8x + 7> 0.
- Рішення. Дискримінант D = b ^ 2 - 4ac = 64 - 420 < 0. Корней нет. Поскольку «а» положительный, функция всегда положительна (> 0) незалежно від значень «х». Нерівність вірно на всій числовій прямій.
- Приклад. Вирішіть -4x ^ 2 - 9x - 7> 0.
- Рішення. Дискримінант D = 81 - 112 < 0. Корней нет. Поскольку «а» отрицательный, функция всегда отрицательна независимо от значений «х». Неравенство решений не имеет.
- Примітка 2. При вирішенні нестрогих нерівностей (? Або?), У відповіді пишіть замкнуті інтервали (наприклад, [-4,10]), щоб вказати, що два кінцевих значення включені в безліч рішень. При вирішенні строгих нерівностей у відповіді пишіть відкриті інтервали (наприклад, (-4,10)), щоб вказати, що два кінцевих значення не включені в безліч рішень.
Частина 2 з 3: Перший приклад
1
Вирішіть: 15> 6x + 43x.2
Перепишіть нерівність у вигляді: -6x - 43x + 15> 0.3
Вирішіть квадратне рівняння методом метод суми діагональних елементів.- Згідно з правилом знаків два корені мають протилежні знаки, так як вільний член і коефіцієнт при x мають протилежні знаки.
- Запишіть пари можливих коренів: {-3/2, 5/3}, {-1/2, 15/3}, {-1/3, 15/2}. Твір числителей одно вільному члену (15), а твір знаменників - коефіцієнту при x (6) (знаменники завжди позитивні).
- Для кожен пари можливих коренів обчисліть діагональну суму, склавши твір першого чисельника на другий знаменники і твір першого знаменника на другий чисельник. У нашому прикладі діагональні суми: (-3) * (3) + (2) * (5) = 1, (-1) * (3) + (2) * (15) = 27, and (-1) * (2) + (3) * (15) = 43. Так як діагональна сума коренів повинна дорівнювати -b * знак (а) (де «b»-коефіцієнт при «х», а «а» - коефіцієнт при x), то корінням рівняння є третя пара: {1/3, -15/2}
4
Для вирішення нерівності скористайтеся залежністю знака функції від знака коефіцієнта «а».- Функція позитивна, тому що «а» негативний. Поза цього інтервалу функція негативна. Так як вихідне нерівність - суворе нерівність, кінцевий відповідь запишіть у вигляді відкритого інтервалу, щоб виключити кінцеві значення.
- Безліч рішень даного нерівності: (-15/2, 1/3).
- Функція позитивна, тому що «а» негативний. Поза цього інтервалу функція негативна. Так як вихідне нерівність - суворе нерівність, кінцевий відповідь запишіть у вигляді відкритого інтервалу, щоб виключити кінцеві значення.
Частина 3 з 3: Другий приклад
1
Вирішіть: х (6x + 1) < 15.2
Перепишіть нерівність у вигляді: 6x ^ 2 + х - 15 < 0.3
Два кореня мають протилежні знаки.4
Запишіть пари можливих коренів: (-3/2, 5/3) (-3/3, 5/2).- Діагональна сума першої пари: 10 - 9 = 1 = b.
- Два корені: 3/2 і -5 / 3.
5
Для вирішення нерівності скористайтеся числової прямої.6
Підставте х = 0 в нерівність: - 15 < 0 – неравенство верно. Начало отсчета лежит в правильном интервале, поэтому множеством решений является интервал (-5/3, 3/2).7
Спосіб 3. Рішення квадратних нерівностей через побудову графіка.- Концепція цього методу проста: якщо графік функції (парабола) знаходиться вище осі Х, то нерівність позитивно, і навпаки. При цьому вам не потрібно будувати точний графік - досить просто намалювати приблизну параболу на підставі 2 дійсних коренів. Переконайтеся, що парабола дивиться в правильному напрямку (вгору або вниз).
- За допомогою цього методу ви можете вирішувати системи квадратних нерівностей, побудувавши кілька парабол на одній площині координат.
Поради
- Під час іспитів ви повинні швидко знайти відповідь. Тому в якості контрольного значення вибирайте х = 0 (якщо 0 не є коренем). У вас немає часу підставляти інші контрольні значення. І немає часу, щоб підставляти знайдені коріння в нерівність.
- Примітка. Якщо на іспиті потрібно показати тільки відповідь, а не повне рішення, то скористайтеся алгебраїчним методом вирішення нерівностей (він швидше).