Як вирішувати лінійні рівняння з кількома змінними
Лінійне рівняння з кількома змінними - це рівняння, що містить дві або більше змінні (як правило, «х» і «у»). Є кілька способів вирішити ці рівняння, включаючи метод виключення і метод підстановки.
Кроки
Метод 1 з 3: Лінійні рівняння
1
Два (або більше) об`єднаних лінійних рівняння називаються системою лінійних рівнянь. Наприклад:- 8x - 3y = -3
- 5x - 2y = -1
- Це система лінійних рівнянь. Обидва рівняння включаються в процес знаходження «х» і «у».
2
Рішення системи рівнянь - це деякі числа, при підстановці яких замість змінних кожне з рівнянь звертається у вірне рівність.- Потрібно знайти «х» і «у». У нашому прикладі х = -3 і у = -7. Підставте ці значення в рівняння системи: 8 (-3) - 3 (-7) = -3- -3 = -3 - рівність дотримано. 5 (-3) - 2 (-7) = -1- -1 = -1 - рівність дотримано.
3
Коефіцієнт - це множник (число) при змінної.Ви будете використовувати коефіцієнти в методі виключення. У нашому прикладі коефіцієнтами є:- 8 і 3 у першому уравненіі- 5 і 2 в другому рівнянні.
4
Метод виключення полягає в позбавленні від однієї із змінних (наприклад, від «х») і знаходженні іншої змінної («у»). Знайшовши «у», ви підставляєте цю змінну в будь-яке з рівнянь і знаходите «х».- Метод підстановки полягає у відокремленні однієї із змінних в одному з рівнянь і її підстановки в інше рівняння. Знайшовши одну із змінних, ви підставляєте її в будь-яке з рівнянь і знаходите другу змінну.
5
Рівняння з трьома змінними вирішуються аналогічно рівнянням з двома змінними (тими ж методами).
Метод 2 з 3: Виключення
1
Розглянемо приклад:- 8x - 3y = -3
- 5x - 2y = -1
2
Для виключення змінної її коефіцієнт в обох рівняннях повинен бути рівним (при цьому знаки у коефіцієнта можуть бути протилежними, наприклад, 5 і -5). Мета - скласти / відняти два рівняння і при цьому позбавитися від однієї з змінних (наприклад, 5 + (-5) = 0). Наприклад:- Помножте рівняння 8x - 3y = -3 на 2 і отримаєте 16x - 6У = -6.
- Помножте рівняння 5x - 2y = -1 на 3 та отримаєте 15x - 6У = -3
- Таким чином, ви отримали -6у в обох рівняннях.
3
Складіть або відніміть обидва рівняння. Якщо знаки у коефіцієнта однакові - віднімайте, якщо протилежні - складайте. У нашому прикладі необхідно відняти рівняння (так як -6 = -6).- (16x - 6У = -6) - (15x - 6У = -3) = 1x = -3. Тому х = -3.
- Якщо коефіцієнт при «х" не дорівнює 1, розділіть обидві сторони рівності на цей коефіцієнт, щоб знайти «х».
4
Підставте знайдене значення змінної в будь-яке рівняння системи, щоб знайти другу змінну (у нашому прикладі підставте х = -3 в друге рівняння і знайдіть «у»).- 5 (-3) - 2y = -1- -15 - 2y = -1- -2у = 14. Розділіть обидві сторони рівності на -2 і отримаєте у = -7.
- Відповідь: х = -3 і у = -7.
5
Перевірте відповідь, підставивши знайдені значення змінних в обидва рівняння. Якщо одне з рівнянь не звертається до рівність, то перевірте ваші обчислення.- 8 (-3) - 3 (-7) = -3- -3 = -3 - вірно.
- 5 (-3) - 2 (-7) = -1- -1 = -1 - вірно.
- Таким чином, ви отримали правильну відповідь.
Метод 3 з 3: Підстановка
1
У будь-якому рівнянні обособьте будь-яку змінну на одній стороні рівняння (для спрощення обчислень виберіть те рівняння, з яким легше працювати). Наприклад, якщо в одному з рівнянь коефіцієнт при змінній дорівнює 1 (наприклад, х - 3у = 7), виберіть це рівняння. Розглянемо приклад:- х - 2y = 10
- -3x -4y = 10
- У цьому випадку виберіть рівняння х - 2у = 10, тому що в ньому коефіцієнт при «х» дорівнює 1.
- Обособьте «х», перенісши 2у на іншу сторону рівняння: х = 10 + 2y.
2
Підставте знайдене «х» в інше рівняння і знайдіть «у».- Підставте х = 10 + 2y в рівняння -3x -4y = 10: -3 (10 + 2y) -4y = 10.
3
Знайдіть другу змінну (у нашому випадку «у»).- -3 (10 + 2y) - 4y = 10- -30 - 6У - 4y = 10.
- -30 - 10у = 10.
- Перенесіть -30 на іншу сторону рівняння і отримаєте: -10y = 40.
- у = -4.
4
Знайдіть першу змінну (у нашому випадку «х»). Для цього підставте знайдене значення «у» в будь-яке рівняння системи.- Підставте у = -4 в рівняння х - 2y = 10: х - 2 (-4) = 10.
- х + 8 = 10.
- х = 2.
5
Перевірте відповідь, підставивши знайдені значення змінних в обидва рівняння. Якщо одне з рівнянь не звертається до рівність, то перевірте ваші обчислення.- 2 - 2 (-4) = 10- 10 = 10 - вірно.
- -3 (2) - 4 (-4) = 10- 10 = 10 - вірно.
Поради
- Один неправильний знак може призвести до помилкового відповіді. Уважно стежте за знаками!
- Перевіряйте відповідь, підставивши знайдені значення змінних в обидва рівняння. Якщо обидва рівняння звертаються в рівність, то ви знайшли правильну відповідь.
