Як знайти похибка
При вимірюванні чого-небудь можна припустити, що є деяке "істинне значення", яке лежить в межах діапазону значень, які ви знайшли. Для розрахунку більш точної величини ви повинні взяти результат вимірювання та оцінити його при додаванні або відніманні похибки. Якщо ви хочете навчитися знаходити таку похибку, виконайте такі дії.
Кроки
Метод 1 з 3: Основи
1
Висловлюйте похибка правильно. Припустимо, при вимірюванні палиці її довжина дорівнює 4,2 см плюс-мінус один міліметр. Це означає, що палиця приблизно дорівнює 4,2 см, але насправді може бути трохи менше або більше цього значення - з похибкою до одного міліметра.- Запишіть похибка як: 4,2 см ± 0,1 см. Ви також можете переписати це як 4,2 см ± 1 мм, так як 0,1 см = 1 мм.
2
Завжди округляйте значення вимірювань до того ж знака після коми, що і в похибки. Результати вимірювань, які враховують похибку, як правило, округлюються до однієї або двох значущих цифр. Найбільш важливим моментом є те, що потрібно округлити результати до того ж знака після коми, що і в похибки, щоб зберегти відповідність.- Якщо результат вимірювання 60 см, то і похибка слід округляти до цілого числа. Наприклад, похибка цього виміру може бути 60 см ± 2 см, але не 60 см ± 2,2 см.
- Якщо результат вимірювання 3,4 см, то похибка округлюється до 0,1 см. Наприклад, похибка цього виміру може бути 3,4 см ± 0,7 см, але не 3,4 см ± 1 см.
3
Знайдіть похибку. Припустимо, ви вимірюєте лінійкою діаметр круглого кулі. Це складно, так як із-за кривизни кулі буде важко поміряти відстань між двома протилежними точками на його поверхні. Скажімо, лінійка може дати результат з точністю до 0,1 см, але це не означає, що ви можете виміряти діаметр з тією ж точністю.- Вивчіть кулю і лінійку, щоб отримати уявлення про те, з якою точністю ви можете виміряти діаметр. У стандартній лінійки чітко видна розмітка по 0,5 см, але, можливо, ви зможете виміряти діаметр з більшою точністю, ніж ця. Якщо ви думаєте, що зможете виміряти діаметр з точністю до 0,3 см, то похибка в цьому випадку дорівнює 0,3 см.
- Виміряємо діаметр кулі. Припустимо, ви отримали результат близько 7,6 см. Просто вкажіть результат вимірювання разом з похибкою. Діаметр кулі складає 7,6 см ± 0,3 см.
4
Розрахувати похибка вимірювання одного предмета з кількох. Скажімо, вам дано 10 компакт-дисків (CD), при цьому розміри кожного однакові. Припустимо, ви хочете знайти товщину всього одного CD. Ця величина настільки мала, що похибка практично неможливо обчислити. Проте, щоб обчислити товщину (і її похибка) одного CD, ви можете просто поділити результат вимірювання (і його похибка) товщини всіх 10 CD, складених разом (один на іншого), на загальну кількість CD.- Припустимо, що точність вимірювання стопки CD за допомогою лінійки 0,2 см. Отже, ваша похибка ± 0,2 см.
- Припустимо, товщина всіх CD дорівнює 22 см.
- Тепер розділимо результат вимірювання і похибка на 10 (число всіх CD). 22 см / 10 = 2,2 см і 0,2 см / 10 = 0,02 см. Це означає, що товщина одного компакт-диска 2,20 см ± 0,02 см.
5
Виміряйте кілька разів. Для підвищення точності вимірювань, будь то вимірювання довжини або часу, заміряйте шукану величину кілька разів. Обчислення середнього значення з отриманих значень збільшить точність вимірювання і розрахунку похибки.
Метод 2 з 3: Обчислення похибки множинних вимірів
1
Проведіть кілька вимірів. Припустимо, ви хочете знайти, скільки часу падає м`яч з висоти стола. Щоб отримати найкращі результати, виміряйте час падіння наскільки раз, наприклад, п`ять. Потім ви повинні знайти середнє значення з п`яти отриманих значень вимірів часу, а потім додати або відняти середньоквадратичне відхилення для отримання найкращого результату.- Припустимо, в результаті п`яти вимірювань отримані результати: 0,43 с, 0,52 с, 0,35 с, 0,29 с і 0,49 сек.
2
Знайдіть середнє арифметичне. Тепер знайдіть середнє арифметичне шляхом підсумовування п`яти різних результатів вимірювань і розділивши результат на 5 (кількість вимірів). 0,43 + 0,52 + 0,35к + 0,29 + 0,49 = 2,08 сек. 2,08 / 5 = 0,42 с. Середній час 0,42 с.
3
Знайдіть дисперсію отриманих значень. Для цього, по-перше, знайдіть різницю між кожною з п`яти величин і середнім арифметичним. Щоб зробити це, відніміть з кожного результату 0,42 с.- 0,43 с - 0,42 с = 0,01 с
- 0,52 с - 0,42 с = 0,1 с
- 0,35 с - 0,42 с = -0,07 з
- 0,29 с - 0,42 с = -0,13 з
- 0,49 с - 0,42 с = 0,07 з
- Тепер складіть квадрати цих різниць: (0,01) + (0,1) + (-0,07) + (-0,13) + (0,07) = 0,037 с.
- Знайти середнє арифметичне цієї суми можна, розділивши її на 5: 0,037 / 5 = 0,0074 с.
4
Знайдіть середньоквадратичне відхилення. Щоб знайти середньоквадратичне відхилення, просто візьміть квадратний корінь з середнього арифметичного суми квадратів. Квадратний корінь з 0,0074 = 0,09 с, так що середньоквадратичне відхилення дорівнює 0,09 с.5
Запишіть остаточну відповідь. Щоб зробити це, запишіть середнє значення всіх вимірювань плюс-мінус середньоквадратичне відхилення. Оскільки середнє значення всіх вимірювань одно 0,42 с, а середньоквадратичне відхилення 0,09 с, то остаточну відповідь 0,42 с ± 0,09 с.
Метод 3 з 3: Арифметичні дії з похибками
1
Додавання. Щоб скласти величини з погрішностями, складіть окремо величини і окремо похибки.- (5 см ± 0,2 см) + (3 см ± 0,1 см) =
- (5 см + 3 см) ± (0,2 см + 0,1 см) =
- 8 см ± 0,3 см
2
Віднімання. Щоб відняти величини з погрішностями, відніміть величини і складіть похибки.- (10 см ± 0,4 см) - (3 см ± 0,2 см) =
- (10 см - 3 см) ± (0,4 см + 0,2 см) =
- 7 см ± 0,6 см
3
Множення. Щоб помножити величини з погрішностями, перемножте величини і складіть похибки.- (6 см ± 0,2 см) х (4 см ± 0,3 см) =
- (6 см х 4 см) ± (0,2 см + 0,3 см) =
- 24 см ± 0,5 см
4
Поділ. Щоб розділити величини з погрішностями, розділіть величини і складіть похибки.- (10 см ± 0,6 см)? (5 см ± 0,2 см) =
- (10 см? 5 см) ± (0,6 см + 0,2 см) =
- 2 см ± 0,8 см
5
Піднесення до степеня. Для того, щоб звести в ступінь величину з похибкою, зведіть величину в ступінь, а похибка помножте на ступінь.- (2,0 см ± 1,0 см) =
- (2,0 см) ± (1,0 см) х 3 =
- 8,0 см ± 3 см
Поради
- Ви можете дати похибку як для загального результату всіх вимірювань, так і для кожного результату одного вимірювання окремо.
Попередження
- Точні науки ніколи не працюють з "істинними" величинами. Хоча правильне вимір, швидше за все, дасть величину в межах похибки, немає ніякої гарантії, що це буде так. Наукові вимірювання допускають можливість помилок.
- Похибки, описані тут, застосовні тільки для випадків нормального розподілу (розподілу Гауса). Інші розподілу ймовірностей вимагають інших рішень.
