Як знайти точки перегину кривої
У диференціальному обчисленні точка перегину - ця точка кривої, в якій її кривизна змінює знак (з плюса на мінус або з мінуса на плюс). Це поняття використовується в машинобудуванні, економіці і статистиці для визначення суттєвих змін у даних.
Кроки
Частина 1 з 3: Визначення точки перегину
1
Визначення увігнутою функції. Середина будь хорди (відрізок, що з`єднує дві точки) графіка увігнутою функції лежить або під графіком, або на ньому.
2
Визначення опуклої функції. Середина будь хорди (відрізок, що з`єднує дві точки) графіка опуклої функції лежить або над графіком, або на ньому.
3
Визначення коренів функції. Корінь функції - це таке значення змінної «х», при якому у = 0.- При побудові графіка функції коріння - це точки, в яких графік перетинає вісь Х.
Метод 2 з 3: Обчислення похідних функції
1
Знайдіть першу похідну функції. Подивіться правила диференціювання в учебніке- ви повинні навчитися брати перші похідні, і тільки потім переходити до більш складних обчислень. Перші похідні позначаються як f `(х). Для виразів виду ax ^ p + bx ^ (p? 1) + cx + d перша похідна має вигляд: apx ^ (p? 1) + b (p? 1) x ^ (p? 2) + c.- Наприклад, знайдіть точки перегину функції f (х) = х ^ 3 + 2х -1. Перша похідна цієї функції має вигляд:
f? (x) = (x ^ 3 + 2x? 1)? = (X ^ 3)? + (2x)? ? (1)? = 3x ^ 2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
- Наприклад, знайдіть точки перегину функції f (х) = х ^ 3 + 2х -1. Перша похідна цієї функції має вигляд:
2
Знайдіть другу похідну функції. Друга похідна - це похідна від першої похідної вихідної функції. Друга похідна позначається як f ?? (x).- У наведеному вище прикладі друга похідна має вигляд:
f ?? (x) = (3x2 + 2)? = 2? 3? x + 0 = 6x
- У наведеному вище прикладі друга похідна має вигляд:
3
Прирівняти другу похідну до нуля і вирішите отримане рівняння. Отриманий результат буде передбачуваної точкою перегину.- У наведеному вище прикладі ваш розрахунок виглядає наступним чином:
f ?? (x) = 0
6x = 0
x = 0
- У наведеному вище прикладі ваш розрахунок виглядає наступним чином:
4
Знайдіть третю похідну функції. Щоб переконатися, що отриманий результат насправді є точкою перегину, знайдіть третю похідну, яка є похідною від другої похідної вихідної функції. Третя похідна позначається як f ??? (x).- У наведеному вище прикладі третя похідна має вигляд:
f ??? (x) = (6x)? = 6
- У наведеному вище прикладі третя похідна має вигляд:
Частина 3 з 3: Пошук точки перегину
1
Перевірте третю похідну. Стандартне правило оцінки передбачуваної точки перегину: якщо третя похідна не дорівнює нулю (тобто f ??? (x)? 0), то передбачувана точка перегину є справжньою точкою перегину. Перевірте третю проізводную- якщо вона не дорівнює нулю, то ви знайшли справжню точку перегину.- У наведеному вище прикладі третя похідна дорівнює 6, а не 0. Тому ви знайшли справжню точку перегину.
2
Знайдіть координати точки перегину. Координати точки перегину позначаються як (x, f (x)), де х - значення незалежної змінної «х» в точці перегину, f (х) - значення залежної змінної «у» в точці перегину.- У наведеному вище прикладі при прирівнювання другої похідної до нуля ви знайшли, що х = 0. Таким чином, щоб визначити координати точки перегину, знайдіть f (0). Ваш розрахунок виглядає наступним чином:
f (0) = 0 ^ 3 +2? 0? 1 =? 1.
- У наведеному вище прикладі при прирівнювання другої похідної до нуля ви знайшли, що х = 0. Таким чином, щоб визначити координати точки перегину, знайдіть f (0). Ваш розрахунок виглядає наступним чином:
3
Запишіть координати точки перегину. Координати точки перегину - це знайдені значення «х» і f (x).- У наведеному вище прикладі точка перегину - це точка з координатами (0, -1).
Поради
- Перша похідна від вільного члена (простого числа) завжди дорівнює нулю.
