Як обчислити миттєву швидкість
Швидкість - це швидкість переміщення об`єкта в заданому напрямку. У загальних цілях знаходження швидкості об`єкта (v) - просте завдання: потрібно розділити переміщення (s) протягом певного часу (s) на цей час (t), тобто скористатися формулою v = s / t. Однак таким способом одержують середню швидкість тіла. Використовуючи деякі обчислення, можна знайти швидкість тіла в будь-якій точці шляху. Така швидкість називається миттєвою швидкістю і обчислюється за формулою v = (ds) / (dt), тобто представляє собою похідну від формули для обчислення середньої швидкості тіла ..
Кроки
Частина 1 з 3: Обчислення миттєвої швидкості
1
Для обчислення миттєвої швидкості необхідно знати рівняння, що описує переміщення тіла (його позицію в певний момент часу), тобто таке рівняння, на одній стороні якого знаходиться s (переміщення тіла), а на іншій стороні - члени зі змінною t (час). Наприклад:s = -1.5t + 10t + 4
- У цьому рівнянні:
- Переміщення = s. Переміщення - пройдений об`єктом шлях. Наприклад, якщо тіло перемістилося на 10 м вперед і на 7 м назад, то загальне переміщення тіла дорівнює 10 - 7 = 3 м (а на 10 + 7 = 17 м).
- Час = t. Зазвичай вимірюється в секундах.
- У цьому рівнянні:
2
Щоб знайти миттєву швидкість тіла, чиї переміщення описуються наведеним вище рівнянням, ви повинні обчислити похідну цього рівняння. Похідна - це рівняння, що дозволяє обчислити нахил графіка в будь-якій точці (в будь-який момент часу). Щоб знайти похідну, продіфференціруйте функцію таким чином: якщо y = a * x, то похідна = a * n * x. Це правило застосовується до кожного члена многочлена.- Іншими словами, похідна кожного члена зі змінною t дорівнює добутку множника (що стоїть перед змінної) і ступеня змінної, помноженому на змінну в ступені, рівну вихідної ступеня мінус 1. Вільний член (член без змінної, тобто число) зникає, тому що множиться на 0. У нашому прикладі:
s = -1.5t + 10t + 4
(2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
-3t + 10t
-3t + 10
- Іншими словами, похідна кожного члена зі змінною t дорівнює добутку множника (що стоїть перед змінної) і ступеня змінної, помноженому на змінну в ступені, рівну вихідної ступеня мінус 1. Вільний член (член без змінної, тобто число) зникає, тому що множиться на 0. У нашому прикладі:
3
Замініть "s" на "ds / dt", щоб показати, що нове рівняння - це похідна від вихідного рівняння (тобто похідна s від t). Похідна - це нахил графіка в певній точці (в певний момент часу). Наприклад, щоб знайти нахил лінії, описуваної функцією s = -1.5t + 10t + 4 при t = 5, просто підставте 5 в рівняння похідної.- У нашому прикладі рівняння похідної має виглядати наступним чином:
ds / dt = -3t + 10
- У нашому прикладі рівняння похідної має виглядати наступним чином:
4
У рівняння похідної підставте відповідне значення t, щоб знайти миттєву швидкість в певний момент часу. Наприклад, якщо ви хочете знайти миттєву швидкість при t = 5, просто підставте 5 (замість t) в рівняння похідної ds / dt = -3 + 10. Потім вирішите рівняння:ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 м / с- Зверніть увагу на одиницю виміру миттєвої швидкості: м / с. Так як нам дано значення переміщення в метрах, а час - у секундах, і швидкість дорівнює відношенню переміщення до часу, то одиниця виміру м / с - правильна.
Частина 2 з 3: Графічна оцінка миттєвої швидкості
1
Побудуйте графік переміщення тіла. У попередньому розділі ви обчислювали миттєву швидкість за формулою (рівнянням похідної, що дозволяє знайти нахил графіка в певній точці). Побудувавши графік переміщення тіла, ви можете знайти його нахил в будь-якій точці, а отже визначити миттєву швидкість в певний момент часу.- По осі Y відкладайте переміщення, а по осі Х - час. Координати точок (х, у) отримаєте через підстановку різних значень t у вихідне рівняння переміщення і обчислення відповідних значень s.
- Графік може опускатися нижче осі Х. Якщо графік переміщення тіла опускається нижче осі Х, то це означає, що тіло рухається у зворотному напрямку від точки початку руху. Як правило, графік не буде поширюватися за вісь Y (негативні значення х) - ми не вимірюємо швидкості об`єктів, що рухаються назад у часі!
2
Виберіть на графіку (кривій) точку Р і близьку до неї точку Q. Щоб знайти нахил графіка в точці Р, використовуємо поняття межі. Межа - стан, при якому величина січної, проведеної через 2 точки P і Q, що лежать на кривій, прагне до нуля.- Наприклад, розглянемо точки Р (1,3) і Q (4,7) і обчислимо миттєву швидкість в точці Р.
3
Знайдіть нахил відрізка РQ. Нахил відрізка РQ дорівнює відношенню різниці значень координат «у» точок P і Q до різниці значень координат «х» точок P і Q. Іншими словами H = (yQ - yP) / (XQ - xP), Де H - нахил відрізка PQ. У нашому прикладі нахил відрізка PQ дорівнює:H = (yQ - yP) / (XQ - xP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
4
Повторіть процес кілька разів, наближаючи точку Q до точки Р. Чим менше відстань між двома точками, тим ближче значення нахилу отриманих відрізків до нахилу графіка в точці Р. У нашому прикладі проробимо обчислення для точки Q з координатами (2,4.8), (1.5,3.95) і (1.25,3.49) (координати точки Р залишаються колишніми):Q = (2,4.8): H = (4.8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96
5
Чим менше відстань між точками Р і Q, тим ближче значення Н до нахилу графіка в точці Р. При гранично малій відстані між точками Р і Q, значення Н дорівнюватиме нахилу графіка в точці Р. Так як ми не можемо виміряти або обчислити гранично малу відстань між двома точками, графічний спосіб дає оцінне значення нахилу графіка в точці Р.- У нашому прикладі при наближенні Q до P ми отримали наступні значення Н: 1.8- 1.9 і 1.96. Так як ці числа прагнуть до 2, то можна сказати, що нахил графіка в точці Р дорівнює 2.
- Пам`ятайте, що нахил графіка в даній точці дорівнює похідної функції (по якій побудований цей графік) в цій точці. Графік відображає переміщення тіла з плином часу і, як зазначалося в попередньому розділі, миттєва швидкість тіла дорівнює похідною від рівняння переміщення цього тіла. Таким чином, можна заявити, що при t = 2 миттєва швидкість дорівнює 2 м / с (це оцінне значення).
Частина 3 з 3: Приклади
1
Обчисліть миттєву швидкість при t = 4, якщо переміщення тіла описується рівнянням s = 5t - 3t + 2t + 9. Цей приклад схожий на задачу з першого розділу з тією лише різницею, що тут дано рівняння третього порядку (а не другого).- Спочатку обчислимо похідну цього рівняння:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2 - Тепер підставимо в рівняння похідної значення t = 4:
s = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 м / с
- Спочатку обчислимо похідну цього рівняння:
2
Оцінимо значення миттєвої швидкості в точці з координатами (1,3) на графіку функції s = 4t - t. У цьому випадку точка Р має координати (1,3) і необхідно знайти кілька координат точки Q, що лежить близько до точки Р. Потім обчислимо Н і знайдемо оцінні значення миттєвої швидкості.- Спочатку знайдемо координати Q при t = 2, 1.5, 1.1 і 1.01.
s = 4t - t
t = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, so Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, so Q = (1.5,7.5)
t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, so Q = (1.1,3.74)
t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, so Q = (1.01,3.0704) - Тепер обчислимо H:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = 11
Q = (1.5,7.5): H = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
H = (4.5) / (. 5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04 - Так як отримані значення H прагнуть до 7, то можна сказати, що миттєва швидкість тіла в точці (1,3) дорівнює 7 м / с (оцінне значення).
- Спочатку знайдемо координати Q при t = 2, 1.5, 1.1 і 1.01.
Поради
- Щоб знайти прискорення (зміна швидкості з часом), використовуйте метод у частині першій, щоб отримати похідну функції переміщення. Потім візьміть ще раз похідну від отриманої похідної. Це дасть вам рівняння для знаходження прискорення в даний момент часу - все, що вам потрібно зробити, це підставити значення для часу.
- Рівняння, що описує залежність у (переміщення) від х (час), може бути дуже простим, наприклад: у = 6x + 3. У цьому випадку нахил є постійним і не треба брати похідну, щоб його знайти. Згідно теорії лінійних графіків, їх нахил рівний коефіцієнту при змінної х, тобто в нашому прикладі = 6.
- Переміщення подібно віддалі, але воно має певний напрям, що робить його векторною величиною. Переміщення може бути негативним, в той час як відстань буде тільки позитивним.
