Як обчислити об'єм квадратної піраміди

Квадратна піраміда - об`ємна фігура з основою у вигляді квадрата і трикутними бічними гранями. Вершина квадратної піраміди проектується в центр підстави. Якщо «а» - сторона квадратного підстави, «h» - висота піраміди (перпендикуляр, опущений з вершини піраміди до центру її заснування), тоді обсяг квадратної піраміди можна обчислити за формулою: a? (1/3) h. Ця формула вірна для квадратної піраміди будь-яких розмірів (від сувенірних пірамід до єгипетських пірамід).




Метод 1 з 2: Обчислення об`єму за площею і висотою

  1. 1

    Знайдіть сторону підстави. Так як в основі квадратної піраміди лежить квадрат, то всі сторони підстави рівні. Тому необхідно знайти довжину будь-якого боку підстави.
    • Наприклад, дана піраміда, сторона підстави якої дорівнює 5 см.
    • Якщо сторони підстави не рівні один одному, то вам дана прямокутна, а не квадратна піраміда. Тим не менш, формула для обчислення обсягу прямокутної піраміди схожа на формулу для обчислення обсягу квадратної піраміди. Якщо «l» і «w» - дві суміжні (нерівні) сторони прямокутника в основі піраміди, то обсяг піраміди обчислюється за формулою: (l? W)? (1/3) h

  2. 2

    Обчисліть площу квадратного підстави, помноживши його бік саму на себе (або, іншими словами, звівши сторону в квадрат).
    • У нашому прикладі: 5 х 5 = 5 = 25 см.
    • Не забудьте, що площа вимірюється в квадратних одиницях - квадратних сантиметрах, квадратних метрах, квадратних кілометрах і так далі.

  3. 3

    Помножте площа основи на висоту піраміди. Висота - перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на її основу. Перемноживши ці величини, ви отримаєте обсяг куба з тим же підставою і висотою, як у піраміди.
    • У нашому прикладі висота дорівнює 9 см: 25 см? 9 см = 225 см
    • Не забувайте, що обсяг вимірюється в кубічних одиницях, в даному випадку в кубічних сантиметрах.

  4. 4

    Розділіть отриманий результат на 3 і ви знайдете обсяг квадратної піраміди.
    • У нашому прикладі: 225 см / 3 = 75 см.
    • Обсяг вимірюється в кубічних одиницях.

Метод 2 з 2: Обчислення об`єму по апофеме

  1. 1

    Якщо вам дана небудь площа, або висота піраміди і її апофема, ви можете знайти об`єм піраміди, використовуючи теорему Піфагора. Апофема - це висота похилої трикутної грані піраміди, проведена з вершини трикутника до його основи. Для обчислення апофеми використовуйте сторону основи піраміди та її висоту.
    • Апофема ділить сторону підстави навпіл і перетинає її під прямим кутом.

  2. 2

    Розгляньте прямокутний трикутник, утворений апофемой, висотою і відрізком, що з`єднує центр підстави і середину його боку. В такому трикутнику апофема є гіпотенузою, яку можна знайти за теоремою Піфагора. Відрізок, що сполучає центр основи і середину його боку, дорівнює половині сторони підстави (цей відрізок є одним з катетов- другим катетом є висота піраміди).
    • Нагадаємо, що теорема Піфагора записується так: a + b = c, де «a» і «b» - катети, «c» - гіпотенуза прямокутного трикутника.
    • Наприклад, дана піраміда, у якої сторона основи дорівнює 4 см, а апофема - 6 см. Щоб знайти висоту піраміди, підставте ці значення в теорему Піфагора.
      • a + b = c
      • a + (4/2) = 6


      • a = 32
      • a = V32 = 5,66 см Ви знайшли другий катет прямокутного трикутника, який є висотою піраміди (аналогічно, якщо була б дана апофема і висота піраміди, ви б могли знайти половину сторони підстави піраміди).

  3. 3

    Використовуйте знайдене значення, щоб знайти об`єм піраміди за формулою: a ? (1/3)h.
    • У нашому прикладі ви вирахували, що висота піраміди дорівнює 5,66 см. Підставте необхідні значення у формулу для обчислення об`єму піраміди:
      • a ? (1/3)h
      • 4? (1/3) (5,66)
      • 16? 1,89 = 30,24 см.

  4. 4

    Якщо вам не дана апофема, використовуйте ребро піраміди. Ребро - це відрізок, що з`єднує вершину піраміди з вершиною квадрата в основі піраміди. В цьому випадку ви отримаєте прямокутний трикутник, катетами якого є висота піраміди і половина діагоналі квадрата в основі піраміди, а гіпотенузою - ребро піраміди. Так як діагональ квадрата дорівнює v2? сторону квадрата, то ви можете знайти сторону квадрата (підстави), розділивши діагональ на v2. Потім ви зможете знайти об`єм піраміди за вищеописаною формулою.
    • Наприклад, дана квадратна піраміда з висотою 5 см і ребром 11 см. Обчисліть половину діагоналі таким чином:
      • 5 + b = 11
      • b = 96
      • b = 9,80 см.
      • Ви знайшли половину діагоналі, тому діагональ дорівнює: 9,80 см? 2 = 19,60 см.
      • Сторона квадрата (підстави) дорівнює v2? діагональ, тому 19,60 / v2 = 13,90 см. Тепер знайдіть обсяг піраміди за формулою:a ? (1/3)h
      • 13,90? (1/3) (5)
      • 193,23? 5/3 = 322,05 см

Поради

  • У квадратній піраміді її висота, апофема і сторона підстави пов`язані теоремою Піфагора: (сторона? 2) + (висота) = (апофема)
  • У будь правильній піраміді апофема, сторона підстави і ребро пов`язані теоремою Піфагора: (сторона? 2) + (апофема) = (ребро)