Як віднімати і складати вектори
Вектор - це математичний об`єкт, який характеризується величиною і напрямом (наприклад, прискорення, переміщення), чим і відливається від скалярів, у яких напряму немає (наприклад, відстань, енергія). Скаляри можна складати, склавши їх значення (наприклад, 5 кДж роботи плюс 6 кДж роботи дорівнює 11 кДж роботи), а ось вектори складати і віднімати не так просто.
Кроки
Метод 1 з 3: Додавання і віднімання векторів з відомими компонентами
1
Так як вектори мають величину і напрямок, то їх можна розкласти на компоненти, грунтуючись на размерностях х, у і / або z. Вони, як правило, позначаються так само, як точки в системі координат (наприклад, <х,у,z>). Якщо компоненти відомі, то скласти / відняти вектори так само просто, як скласти / відняти координати x, y, z.- Зверніть увагу, що вектори можуть бути одновимірними, двовимірними або тривимірними. Таким чином, вектори можуть мати компонент «х», або компоненти «х» і «у», або компоненти «х», «у», «z». Нижче розглядаються тривимірні вектори, але процес аналогічний для одновимірних і двовимірних векторів.
- Припустимо, що вам дано два тривимірних вектора - вектор А і вектор B. Запишіть ці вектори в векторній формі: А =
2
Для складання двох векторів складіть їх відповідні компоненти. Іншими словами, складіть компонент «х» першого вектора з компонентом «х» другого вектора (і так далі). В результаті ви отримаєте компоненти х, у, z результуючого вектора.- A + B =
- Складемо вектори A і B. A = <5, 9, -10> і B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, або <22, 6, -12>.
- A + B =
3
Для вирахування одного вектора з іншого необхідно відняти відповідні компоненти. Як буде показано нижче, віднімання можна замінити складанням одного вектора і вектора, зворотного іншого, від іншого можна розглядати додавши його "зворотна". Якщо компоненти двох векторів відомі, відніміть відповідні компоненти одного вектора з компонентів іншого.- A-B =
- Віднімемо вектори A і B. A = <18, 5, 3> і B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, or <28, -4, 13>.
- A-B =
Метод 2 з 3: Графічне додавання і віднімання
1
Так як вектори мають величину і напрямок, то у них є початок і кінець (початкова точка і кінцева точка, відстань між якими дорівнює значенню вектора). При графічному відображенні вектора він малюється у вигляді стрілки, у якої наконечник - кінець вектора, а протилежна точка - початок вектора.- При графічному відображенні векторів будуйте всі кути дуже точно-в іншому випадку ви отримаєте неправильну відповідь.
2
Для додавання векторів намалюйте їх так, щоб кінець кожного попереднього вектора з`єднувався з початком наступного вектора. Якщо ви складаєте тільки два вектора, то це все, що вам потрібно зробити, перш ніж знайти результуючий вектор.- Зверніть увагу, що порядок з`єднання векторів не важливий, тобто вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.
3
Для вирахування вектора просто додайте зворотний вектор, тобто змініть напрямок від`ємника вектора, а потім з`єднайте його початок з кінцем іншого вектора. Іншими словами, щоб відняти вектор, поверніть його на 180 (навколо точки початку) і складіть його з іншим вектором.
4
Якщо ви складаєте або вичитаєте наскільки (більше двох) векторів, то послідовно з`єднайте їх кінці і начала. Порядок, в якому ви поєднуєте вектори, не має значення. Цей метод може бути використаний для будь-якого числа векторів.
5
Намалюйте новий вектор, починаючи від початку першого вектора і закінчуючи кінцем останнього вектора (при цьому число складаються векторів не важливо). Ви отримаєте результуючий вектор, який дорівнює сумі всіх складаються векторів. Зверніть увагу, що цей вектор збігається з вектором, отриманим шляхом складання компонентів «х», «у», «z» всіх векторів.- Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора, просто вимірявши його довжину. Крім того, ви можете виміряти кут (між результуючим вектором та іншим зазначеним вектором або горизонтальної / вертикальної прямими), щоб знайти напрямок результуючого вектора.
- Якщо ви намалювали довжини векторів і кути між ними дуже точно, то ви можете знайти значення результуючого вектора за допомогою тригонометрії, а саме теореми синусів або теореми косинусів. Якщо ви складаєте кілька векторів (більше двох), спочатку складіть два вектора, потім складете результуючий вектор і третій вектор і так далі. Дивіться наступний розділ для отримання додаткової інформації.
6
Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і напрям. Як зазначалося вище, якщо ви намалювали довжини складаються векторів і кути між ними дуже точно, то значення результуючого вектора одно його довжині, а напрямок - це кут між ним і вертикальної або горизонтальної прямої. До значенням вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких надані складаються / віднімаються вектора.- Наприклад, якщо ви складаєте вектори швидкості, вимірювані в м / с, то і до значення результуючого вектора припишіть «м / с», а також вкажіть кут результуючого вектора у форматі «до горизонтальної прямої».
Метод 3 з 3: додавання і віднімання векторів через знаходження значень їх компонентів
1
Щоб знайти значення компонентів векторів необхідно знати значення самих векторів і їх напрям (кут відносно горизонтальної або вертикальної прямий). Розглянемо двовимірний вектор. Зробіть його гіпотенузою прямокутного трикутника, тоді катетами (паралельними осях Х і Y) цього трикутника будуть компоненти вектора. Ці компоненти можна розглядати як сполучені два вектори, які при додаванні дають вихідний вектор.- Довжини (значення) двох компонентів (компонентів «х» і «у») вихідного вектора можуть бути обчислені за допомогою тригонометрії. Якщо «х» - це значення (модуль) вихідного вектора, то компонент вектора, прилегла до розі вихідного вектора, дорівнює xcos ?, а компонент вектора, протилежний куту вихідного вектора, дорівнює xsin ?.
- Важливо відзначити напрямок компонентів. Якщо компонент спрямований протилежно напрямку однієї з осей, то його значення буде негативним, наприклад, якщо на двовимірної площині координат компонент спрямований вліво або вниз.
- Наприклад, дано вектор з модулем (значенням) 3 і напрямком 135 (по відношенню до горизонталі). Тоді компонент «х» дорівнює 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» дорівнює 3sin135 = 2,12.
2
Після того, як ви знайшли компоненти всіх складаються векторів, просто складіть їх значення і знайдете значення компонентів результуючого вектора. Спочатку складіть значення всіх горизонтальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Х). Потім складіть значення всіх вертикальних компонентів (тобто компонентів, паралельних осі Y). Якщо значення компонента негативне, то воно віднімається, а не додається.- Наприклад, складемо вектор <-2,12, 2,12> і вектор <5,78, -9>. Результуючий вектор буде таким <-2,12 + 5,78, 2,12-9> або <3,66, -6,88>.
3
Обчисліть довжину (значення) результуючого вектора, використовуючи теорему Піфагора: c = a + b (так як трикутник, утворений вихідним вектором і його компонентами є прямокутним). У цьому випадку катетами є компоненти «х» і «у» результуючого вектора, а гіпотенузою - сам результуючий вектор.- Щоб знайти значення результуючого вектора, компоненти <3,66, -6,88> якого ви знайшли в попередньому кроці, використовуйте теорему Піфагора.
- c = (3,66) + (- 6,88)
- c = 13,40 + 47,33
- c = v60,73 = 7,79
- Щоб знайти значення результуючого вектора, компоненти <3,66, -6,88> якого ви знайшли в попередньому кроці, використовуйте теорему Піфагора.
4
Щоб знайти напрям результуючого вектора, використовуйте формулу ?= Tan (b / a), де? - Кут між вектором і горизонтальною віссю, b - значення компонента «у», а - значення компонента «х».- Знайдіть напрямок результуючого вектора з нашого прикладу.
- ?= Tan (-6,88 / 3,66)
- ?= Tan (-1,88)
- ?= -61,99
- Знайдіть напрямок результуючого вектора з нашого прикладу.
5
Уявіть результуючий вектор, позначивши його значення і напрям. До значенням вектора не забудьте приписати одиниці виміру, в яких надані складаються / віднімаються вектора.- Наприклад, якщо в нашому прикладі ви складали силу, вимірювану в Ньютона, то відповідь запишіть так: 7,79 Н під кутом -61,99 (до горизонтальної осі).
Поради
- Не плутайте вектори з їх модулями (значеннями).
- Вектори, у яких один напрямок, можна складати або віднімати, просто склавши або віднявши їх значення. Якщо складаються два протилежно спрямованих вектора, то їх значення віднімаються, а не складаються.
- Вектори, які представлені у вигляді xi + yj + zk можна скласти або відняти, просто склавши або віднявши відповідні коефіцієнти. Відповідь також запишіть у вигляді i, j, k.
- Значення вектора в тривимірному просторі можна знайти за допомогою формули a = b + c + d, де a - значення вектора, b, c, і d - Компоненти вектора.
- Вектори-стовпці можна складати / віднімати, склавши / віднявши відповідні значення в кожному рядку.
