Як робити математичні докази
Писати математичні докази може бути досить складним завданням. Студенти, що спеціалізуються в математиці, комп`ютерних чи будь-яких інших суміжних областях, ця стаття для вас. Просто дотримуйтесь вказівок, щоб зрозуміти принцип доведення теорем.
Кроки
1
Зрозумійте, що інформація, яка використовується в математиці - це та інформація, яку ти вже знаєш, наприклад, аксіоми або результати доказів інших теорем.
2
Випишіть початкові умови і те, що повинно бути доведено. Вам буде видно, що ви маєте спочатку і, використовуючи докази інших теорем, аксіоми або інші формули, які вже доведені, приступайте до доказу. Розуміння полягає в тому, що ви можете повторити і переформулювати проблему трьома різними способами: формулами, графічно і словами.
3
Ставте собі питання під час доведення теореми."Чому це так?" і "Чи можлива помилка в міркуванні?" - Хороші питання для будь-якого логічного висновку. Ці питання будуть задаватися згодом вашим викладачем на кожному етапі, і як тільки ви не зможете на нього відповісти ваша оцінка почне падати. Перевіряйте кожен крок причинністю! Контролюйте процес.
4
Переконайтеся, що у вашому доказів не пропущені кроки. Все має плавно перетікати з одного твердження до іншого так, щоб не виникало сумнівів у правильності і логічності докази. Це має бути схоже на зведення будинку: впорядковано, систематизовано і рівним темпом. Ось графічний приклад доведення теореми Піфагора, який досить простий. [1].
5
Запитайте свого викладача або однокурсників, якщо у них які-небудь питання. Це нормально задавати питання в будь-який час - це все частина процесу навчання. Пам`ятайте, що не буває дурних запитань.
6
Позначте кінець вашого докази. Є кілька методів для цього:- Ч.т.д. (Quod erat demonstrandum, що позначає "що потрібно було довести). Технічно це допустимо, тільки тоді, коли доведена вся теорема.
- Заштрихований квадрат в кінці докази - є символом цього методу.
- Апогогія. (Reductio ad absurdum, що можна перекласти як "Доведення до абсурду") метод побудований на приведенні протиріччя. Але також, якщо ваше доказ було невірним, то це дуже погана позначка на вашій роботі.
- Якщо ви не впевнені, що ваше доказ правильно, просто напишіть кілька слів про те, чому варто взяти до уваги ваші укладення і що ви мали на увазі. Якщо ви використовуєте один з перерахованих вище прийомів, але ваше доказ буде невірним, ви ризикуєте не отримати жодного балу.
7
Пам`ятайте умови, які вам дали. Перегляньте записи і книги, щоб переконатися в правильності докази.
8
Буде потрібно час для самостійного докази. Мета - не саме доказ, а розуміння процесів і логічних висновків. Якщо ви тільки довели, але потім пішли займатися своїми справами, то ви забудете половину того, що довели. Подумайте про це, ви будете цим задоволені?
Поради
- Спробуйте поставити під сумнів ваше доказ. Наприклад, ось можливий доказ: квадратний корінь числа (будь-яке число) прямує до нескінченності, поки це число прагне до нескінченності.
- "Для всіх позитивних n, квадратний корінь n + 1 більше, ніж корінь з n.
- Так що, якщо це правда, що n збільшується, коли його корінь увелічівается- і якщо n прямує до нескінченності, то і корінь з n прямує до нескінченності для всіх n."(На слух це може звучати цілком нормально.)
- Але, не дивлячись на те, що висновок ви зробили правильний, логіка ваших міркувань неправильна. Ці докази повинні однаково добре застосовуватися як до arctg n, так і до квадратному кореню з n. Arctan з n + 1 завжди більше, ніж arctan n для всіх позитивних n. Але arctan не прагне до нескінченності, він прагне до pi / 2.
- Так ми довели, як це потрібно робити. Щоб виправити те, що щось прямує до нескінченності, нам потрібно щоб для будь-якого M існувало таке N при якому для всіх n більше ніж N, квадратний корінь з n був би більше ніж M. Існує таке число - це M ^ 2.
- Цей приклад показує, що ви повинні акуратно перевіряти визначення речей, які ви намагаєтеся довести.
- Докази - це складне завдання. Один чудовий спосіб вивчити докази - це вивчити аналогічну теорему і те, як вона була доведена.
- Гарне математичне доказ робить кожен крок очевидним.
- Те, що на перший погляд виглядає провалом, може насправді, бути вашим прогресом, якщо це краще, ніж те, що у вас було спочатку.
- Головна річ в більшості доказів: вони вже були доведені, що означає, що вони вірні! Якщо ви прийшли до висновку, який відрізняється від того, що повинно бути, значить ви допустили десь помилку. Поверніться назад і перевірте ваші міркування.
- Існують тисячі ідей, які можна попрактикувати.
- Запис декількох способів докази не рідкість. Розгляд їх може затягнутися на десятки сторінок або навіть більше, так що будьте впевнені, що ви правильно все робите.
- Зрозумійте, що доказ - це просто добре аргументована задача.Ви можете знайти близько 50 доказів онлайн [2].
